备课资讯21几何图形的涂色问题空间图形的涂色问题由于其空间位置的特点，处理问题时容易受空间想像的限制，使问题变得很不直观，若利用欧拉定理的思想与方法，通过图形的变换转化为平面图形的涂色问题，可使一类空间涂色问题得以简化而使问题变得直观．下面给出几例来看欧拉思想在涂色问题中的应用．【例1】某城市在中心广场建造一个扇环形花圃，花圃分为6个部分，如右图，现要栽种4种不同颜色的花，每一部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，问有多少种不同的栽种方法？解析利用欧拉思想进行拉伸变形，可使图1变形为图2，这两种图形的涂色其实质是一样的．我们不妨用1、2、3、4代表四种颜色，在右侧图形中，先在1、2、3区域涂上1、2、3三种颜色，然后依次涂第4、5、6三个区域，涂区域4可用2、4颜色．图1图2①若区域4涂颜色2，则整个花圃有123243、123234两种涂法．②若区域4涂颜色4，则整个花圃有123434、123424、123423三种涂法．即区域1、2、3颜色确定以后，区域4、5、6有5种涂法，所以共有不同的栽种方法为A34×5＝120种．【例2】将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的涂色方法总数．解析本题如果将棱锥的顶点往下作投影，或者是将四棱锥看成是可以拉伸的薄膜状表面进行拉伸，变成平面图形(图1)，则空间图形的涂色就能变成平面图形的涂色，继而将点扩展为平面区域，则又可变为平面内圆形区域的涂色问题(图2)．方法同例1，解略．有420种涂色方法．【例3】用5种颜色给正方体ABCD—A1B1C1D1各面涂色，要求相邻两个面不同色，现已将过顶点A的3个面涂了颜色，那么其余3个面涂色方法有多少种？解析分三类，一是剩余三面的颜色与以A为顶点的三面的颜色相同，则只能涂其对面颜色，有1种涂法，二是只有2种与所涂颜色相同，则有C23种方式，另一种颜色为剩余两种颜色中的一种，故有6种涂法，三是只有一种颜色与前面所涂相同，有C13种，剩余涂为两种其它颜色，故也有6种涂法，综上有13种．【例4】现用4种颜色给三棱柱的6个顶点涂色，要求同一条棱的两端点的颜色不同，4种颜色全部用上，问有多少种不同的涂色方案？解析将左侧图形拉伸为右侧图形，则中间三点不同色，不妨为三颜色1、2、3，又4种颜色全用上，故外围三点中一定有一点涂第4种颜色，在此情况下从其余三色中任挑两色，另外两点都只有一种涂法．故共有C34A33C13C23＝216种涂法．返回
