以圆为背景的相似三角形的计算与证明VIP免费

1以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝15. AC切半圆O于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEA＝90°＝∠C，∴OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴＝，∴＝，解得R＝，∴AO＝AB－OB＝15－R＝.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO的长．【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.证明：(1) AB是⊙O的切线，∴OD⊥AB，∴∠C＝∠ADO＝90°， ∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴＝，∴AD·BC＝AC·OD， OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为图Z13－22直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC， AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°， D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2， OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB， ∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°， 在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴＝，∴BC2＝BE·BA， AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x， BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝，即AE＝.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO. AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD. OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，3∴∠COD＝∠COB.又 CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又 点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB. DE＝2BC，∴DE＝2CD. AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴＝＝＝.4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5中考变形4答图解：(1)证明： BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又 ∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又 OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°， AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°， DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2) △AOC为等边三角形，∴S△AOC＝OA2＝，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又 ∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝2，BE＝，∴DE＝3；4(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M， OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF， ∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又 ∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶，求△BCD的面积．图Z13－6中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC， BE＝EF，∴∠F＝∠EBF， ∠AEB＝∠EBF＋∠F，∴∠F＝∠AEB， C是AB的中点，∴AC＝BC，∴∠AEC＝∠BEC， ∠AEB＝∠AEC＋∠BEC，∴∠AEC＝∠AEB，∴∠AEC＝∠F，∴CE∥BF；(2) ∠DAE＝∠DCB，∠AED＝∠CEB，∴△ADE∽△CBE，∴＝，即＝， ∠CBD＝∠CEB，∠BCD＝∠ECB，∴△CBE∽△CDB，∴＝，...