二元一次不等式(组)所表示的平面区域VIP专享VIP免费

二元一次不等式的一般形式为Ax+By+C>0或Ax+By+C<0，现在我们来探求二元一次不等式解集的几何意义。已知直线l：Ax+By+C=0，它把平面分为两部分，每个部分叫做开半平面，开半平面与l的并集叫做闭半平面。不等式的解(x，y)为坐标的所有点构成的集合，叫做不等式表示的平面区域或不等式的图象。我们如何求二元一次不等式在直角坐标平面上表示的区域呢？直角坐标平面内直线l的一般形式的方程为Ax+By+C=0，①根据直线方程的意义，凡在l上的点的坐标都满足方程①，而不在直线l上的点的坐标都不满足方程①。直线l把坐标平面内不在l上的点分为两部分，一部分在l的一侧，另一部分在l的另一侧，我们用下面的例子来讨论在直线的两侧点的坐标，所应满足的条件。在直角坐标系xOy中，作直线l：x+y－1=0。由直线的方程的意义可知，直线l上点的坐标都满足l的方程，并且在直线l外的点的坐标都不满足l的方程。在直线l的上方和下方取一些点：上方：(0，2)，(1，3)，(0，5)，(2，2)；下方：(－1，0),(0，0),(0，－2),(1，－1)把它们的坐标分别代入式子x+y－1中，我们发现，在l上方的点的坐标使式子的值都大于0，在l下方的点的坐标使式子的值都小于0。54-212-1-1321x+y-1=0Oyx这使我们猜想：l同侧的点的坐标是否使式子x+y－1的值具有相同的符号？要么都大于零，要么都小于零。事实上，不仅对这个具体的例子有此性质，而且对坐标平面内的任意一条直线都有此性质.性质：直线l：Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有相同的符号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号相反，一侧都大于零，另一侧都小于零。例1．画出下面二元一次不等式表示的平面区域：（1）2x－y－3>0；（2）3x+2y－6≤0.解：（1）所求的平面区域不包括直线，用虚线画直线l：2x－y－3=0，将原点坐标(0，0)代入2x－y－3，得2×0－0－3=－3<0，2x-y-3=02x-y-3>0y-212-1-121Ox这样，就可以判定不等式2x－y－3>0所表示的区域与原点位于直线2x－y－3=0的异侧，即不包含原点的那一侧。（2）画出3x+2y－6≤0的平面区域.解：（2）所求的平面区域包括直线，用实线画直线l：3x+2y－6=0，将原点坐标(0，0)代入3x+2y－6，得3×0+2×0－6=－6<0，3x+2y-603x+2y-6=0412-1-1321Oyx这样，就可以判定不等式3x+2y－6≤0所表示的区域与原点位于直线2x－y－3=0的同侧，即包含原点的那一侧（包含直线l）。例2．画出下列不等式组所表示的平面区域：（1）21010xyxy≥解：（1）在同一个直角坐标系中，作出直线2x－y+1=0(虚线)，x+y－1=0(实线)。用例1的选点方法，分别作出不等式2x－y+1>0，x+y－1≥0所表示的平面区域，则它们的交集就是已知不等式组所表示的区域。（1）21010xyxy≥x+y-1=02x-y+1=012-1-1321Oyx（2）232021030xyyx≥≤解：（2）在同一个直角坐标系中，作出直线2x－3y+2=0(虚线)，2y+1=0(实线)，x－3=0(实线)，用例1的选点方法，分别作出不等式2x－3y+2>0，2y+1≥0，x－3≤0所表示的平面区域，则它们的交集就是已知不等式组所表示的区域。（2）232021030xyyx≥≤2y+1=0x-3=02x-3y+2=03-212-1-1321Oy例3．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需用的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨，生产1车皮乙种肥料需用的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现有库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨。如果在此基础上进行生产，设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。解：设x，y分别是计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，则x，y所满足的数学关系式为41018156600xyxyxy≤≤≥≥分别画出不等式组中，各不等式所表示的区域.然后取交集，就是不等式组所表示的区域。41018156600xyxyxy≤≤≥≥18x+15y=664x+y=10987641035412321Oyx练习：1.画出下列不等式表示的平面区域：（1）2x＋3y－6＞0（2）2x＋5y≥10（3）4x－3y≤12Oxy32Oxy52Oyx3-4（1）（2）（3）2：画出下面不等式组所表示的平面区域5003xyxyx≥≥≤所以,不等式组表示的区域如上图所示.Oxyx+y=0x=3x-y+5=0解：依次画出三个不等式x－y+5≥0,x+y≥0,x≤3所表示的平面区域5003xyxyx≥≥≤