方向向量与法向量VIP免费

3.2.1立体几何中的向量方法——方向向量与法向量如图,l为经过已知点A且平行于非零向量a的直线,那么非零向量a叫做直线l的方向向量。lAPa１．直线的方向向量直线ｌ的向量式方程换句话说,直线上的非零向量叫做直线的方向向量APta�一、方向向量与法向量1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线的向量．平行或共线例1:已知长方体ABCD—A’B’C’D’的棱长AB=2,AD=4,AA’=3.建系如图,求下列直线的一个方向向量:(1)AA’;(2)B’C;(3)A’C;(4)DB’.A’B’C’D’ABCD解:A(4,0,3),B(4,2,3),C(0,2,3),xyz243D(0,0,3),A’(4,0,0),B’(4,2,0),C’(0,2,0),D’(0,0,0).),30,0(')1(AA).30,0(''AAdAA的一个方向向量是直线).3,0,4()2('CBd).3,2,4()3('CAd).3,2,4()4('DBd1．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3)B．(1,3,2)C．(2,1,3)D．(3,2,1)【解析】AB→＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．【答案】A2．(2014·济宁高二质检)已知向量a＝(2，－3,5)与b＝(4，x，y)平行，则x，y的值分别为()A．6和－10B．－6和10C．－6和－10D．6和10【解析】因为a与b平行，∴42＝x－3＝y5，解得x＝－6，y＝10.【答案】B例2:已知所有棱长为的正三棱锥A-BCD,试建立空间直角坐标系,确定各棱所在直线的方向向量.aABCDEFxyz(O)解:建系如图,则B(0,0,0)、).0,2,23()0,,0(aaCaD、),0,2,63().0,2,0(.aaFaEBCDFBDE则的中心是等边的中点，为设,3632222aaaCFACAF).36,2,63(aaaABEFxyz(O)).36,2,63(aaaA)0,,0(aD).0,2,23(aaC);0,1,0(BDd);0,1,3(BCd);0,1,3(CDd);22,3,1(BAd);20,1(ACd).22,3,1(ADd2、平面的法向量AalP平面α的向量式方程0aAP��换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的a，则a叫做平面α的法向量.方向向量oxyzABCO1A1B1C1例1.如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为___________(2)平面OABC的一个法向量坐标为___________(3)平面AB1C的一个法向量坐标为___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)如何刻画平面的方向？二、平面的法向量：叫做那么向量垂直，面如果它所在的直线与平对于非零的空间向量nn,.的一个法向量平面例3：长方体中，求下列平面的一个法向量：（1）平面ABCD;(2)平面ACC’A’;(3)平面ACD’.xyzABCDA’B’C’D’234).1,0,0(1n）解：（xyzABCDA’B’C’D’234则的一个法向量为设平面),,('')2(wvunAACC.00''ACnAAnACnAAn),0,2,4(),30,0('ACAA020002)4(0)3(00vuwwvuwvu,21vu取).0,2,1(''nAACC的一个法向量平面xyzABCDA’B’C’D’234的一个法向量，是平面设'),,()3(ACDwvun0'0'ADnACnADnACn),3,0,4('),0,2,4(ADAC.342034024uwuvwuvu,4,6,3wvu得取).4,6,3('nACD的一个法向量平面3．若u＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)【解析】同一个平面的法向量平行，故选D.【答案】D例2.在空间直角坐标系中,已知(3,0,0),(0,4,0)AB,(0,0,2)C,试求平面ABC的一个法向量.(4,3,6)n解:设平面ABC的一个法向量为(,,)nxyz则nABnAC��，. (3,4,0)AB�,(3,0,2)AC�∴(,,)(3,4,0)0(,,)(3,0,2)0xyzxyz即340320xyxz∴3432yxzx取4x,则(4,3,6)n∴(4,3,6)n是平面ABC的一个法向量.2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n＝(x，y，z)．(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．(3)根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组n·a＝0，n·b＝0.(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组n·a＝0，n...