浅谈三角函数的图象与性质的教学江苏省南通市如东县岔河中学胡文建邮编226403摘要：三角函数的图象与性质是高考的热点，涉及的内容包括三角函数的定义域、值域、奇偶性、单调性和周期性，这些都是三角函数的核心内容。近年来,各级各类考试命题者不断变换考查的角度,相继推出了许多新颖别致,极富思考性和挑战性的创新题型,给此类问题注入了新的活力。同学们重点要掌握的有关三角函数的知识有：y=sinx，y=cosx，y=tanx的定义域、值域（最值）、周期性、奇偶性、对称性及单调性；y=Asin（ωx+φ）+k模型（图象变换、性质）及应用。关键字：高中数学；三角函数；图像；性质三角函数是高中数学的基本内容之一，三角函数的图象和性质（定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性）是三角函数的重点。函数图象是研究函数性质、解决函数相关问题的重要工具。通过解决函数图象问题既能够考查函数性质的掌握情况，也能够通过创设新的情景，考查创新和知识迁移能力，所以是各类考试的热点问题。由于三角函数的图象及性质有许多独特的表现，因此近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。一、已知函数图象求函数解析式方面的问题应用函数图象来解决问题，我们需要增强读图和识图能力，捕捉图象中包含的信息。从图象的交点、极值点、范围、位置、对称轴和对称中心、上升和下降等信息来判断函数的单调性、奇偶性、最值、定义域、值域等性质。已知图象求函数y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）的解析式，是“五点法”作图的逆向思维问题，解题的关键在于利用图象上的特殊点，确定参变量A、ω、φ的值。本文就一般情况例析如下。(一)A值的确定方法：A等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半。(二)ω值的确定方法：方法１：在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝2πT，求得ω的值。方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值。(三)φ值的确定方法：方法１：“关键点对等法”。确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值。此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y＝sinx在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、π2、π、3π2、2π，若设所给图象与曲线y=sinx上对应五点的横坐标为XJ(J＝1,2,3,4,5),则顺次有ωx1+φ＝0、ωx2+φ＝π2、ωx3+φ＝π、ωx4+φ＝3π2、ωx5+φ＝2π,由此可求出φ的值。方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值。方法3：“特殊点坐标法”。（与2中的方法2类同）。(四)k值的确定方法：|K|等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k为正值，下移时k为负值。另外A、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得。例如：图1是函数ｙ＝2sin（ωx+φ）(ω＞０，|φ|≤π2)的图象，那么正确的是（）Ａ.ω＝1011,φ＝π6Ｂ．ω＝1011,φ＝－π6Ｃ．ω＝２，φ＝π6Ｄ．ω＝２，φ＝－π6解：可用“筛选选项法”。题设图象可看作由y＝2sinωx的图象向左平移而得到，所以φ＞0排除B和D，由A,C知φ＝π6；ω值的确定可用“关键点对等法”，图1因点（11π12,0）是“五点法”中的第五个点，∴ω·11π12+π6＝2π，解得ω＝２，故选C。又如：图2是函数y＝Asin(ωx+φ)图象上的一段,（A＞0，ω＞0,φ∈（0，π2）,求该函数的解析式。解法一：观察图象易得A＝2,∴T＝2×（7π8-3π8）＝π，∴ω＝2π2＝2,∴y＝2sin(2x+φ)。下面用“关键点对等法”来求出φ的值,由2×3π8+φ＝π（用“第三点”），得φ＝π4，∴所求函数解析式为y＝2sin(2x+π4)。说明：若用“第二点”，可由2×π8+φ＝π2求得φ的值；若用“第五点”，可由2×7π8+φ＝2π，求得φ的值。解法二：由解法一得到T=π，ω=2后，可用“解方程组法”求得φ与A的值， 点（0，√2）及点（3π8，0）在图象上，∴{AsinΦ=√2(1)¿¿¿¿由(2)得，φ＝kπ...
