第九讲一元二次不等式及其解法VIP专享VIP免费

第九讲一元二次不等式及其解法基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．双基自测1．不等式x2－3x＋2＜0的解集为．2．不等式2x2－x－1＞0的解集是．3．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是．4．若不等式ax2＋bx－2＜0的解集为，则ab＝．5．不等式ax2＋2ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．考向一一元二次不等式的解法【例1】►已知函数f(x)＝解不等式f(x)＞3.1解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】函数f(x)＝＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________．考向二含参数的一元二次不等式的解法【例2】►求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．【训练2】解关于x的不等式(1－ax)2＜1.考向三不等式恒成立问题【例3】►已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时，不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，【训练3】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．2考向四求解含参数不等式的恒成立问题【例4】►设函数f(x)＝(x－a)2lnx，a∈R.(1)若x＝e为y＝f(x)的极值点，求实数a；(2)求实数a的取值范围，使得对任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．本题考查函数极值的概念，导数的运算法则，导数的应用，不等式的基础知识，考查学生推理论证能力．分析问题，解决问题的能力．难度较大，做好此类题目，一要有信心，二要结合题意进行恰当地转化，化难为易，化陌生为熟悉．【试一试】设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，求实数a的值．基础检测1．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)＞f(2x)的x的取值范围是________．2．若存在实数x，使得x2－4bx＋3b＜0成立，则b的取值范围是________．3．若关于x的不等式(2ax－1)·lnx≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的值为________．4．不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．35．若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范...