1/14介绍八个模型，并给出相应的应用与实践题一、赌博的最优策略模型假设有数量为n的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以p的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到N或者破产（输光所有的钱为止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到N走人）的概率呢？愿赌服输，所以大多数赌博的结果基本上是不受自己控制的。但最优化赌博成功的概率还是可以做到的。我们现在讨论一个非常简单的游戏，假设有数量为的本钱，赌博规则为每次可以压任意多的钱，赌博结果为以的概率赢回同样多的钱（输了的话压出去的钱就没了）。如果赌博的目标是本钱增长到或者破产（输光所有的钱为止）。问什么样的方式可以最大化成功（赢到走人）的概率呢？显然对于的不同大小有三种可能性：：这时候没什么取巧的可能性，随便压，成功地概率固定的为，成功概率与本钱成正比。：这种情况比较有趣。如果钱可以无限细分的话，成功的概率是可以趋近的，但现实中并不是这样，另外还得考虑赌博的时间成本对不。这时候每次压上是一个比较快捷胜率又高的方法。：其实这种情况才是赌场里的大多数的情况（庄家赢的概率肯定要大一些嘛，否则赌场怎么赚钱呢）。但注意与大多数想象的不同，在这时稳打稳扎是慢性自杀，孤注一掷才是最优策略。这也符合历史经验，历史上一些搞阴谋成功的哪个不是亡命徒？最后成功的概率为，本钱少时，概率下降得更快。所以高手赌钱，应该是这样的，先计算每次游戏的可能的胜率，当时，压上比例的本钱。二、鱼群的适度捕捞问题鱼群是一种可再生的资源，若目前鱼群的总数为x（单位：kg），经过一年的成长与繁殖，第二年鱼群的总数为y（单位：kg）。反映x与y之间相互关系的曲线称为再生曲线，记为)(xfy。现设鱼群的再生曲线为)1(Nxrxy（其中r是鱼群的自然生长率，1r，N是自然环境能够负荷的最大鱼群数量）。为使鱼群的数量保持稳定，在捕鱼时必须注意适度捕获。问鱼群的数量控制在多大时，才能获取最大的持续捕捞量？解：首先我们对再生曲线)1(Nxrxy的实际意义作简略解释。2/14由于r是自然增长率，故一般可认为rxy，但是，由于自然环境的限制，当鱼群的数量过大时，其生长环境就会恶化，导致鱼群增长率的降低。为此，我们乘上了一个修正因子)1(Nx，于是)1(Nxrxy，这样当Nx时，0y，即N是自然环境所能容纳的鱼群极限量。设每年的捕获量为)(xh，则第二年的鱼群总量为)()(xhxfy要限制鱼群总量保持在某一个数值x，则)()(xhxfx所以.)1()1()()(2xNrxrxNxrxxxfxh现在求)(xh的极大值：由02)1()(xNrrxh，得驻点Nrrx2)1(*由于02)(Nrxh，所以，Nrrx2)1(*是)(xh的极大值点。因此，鱼群规模控制在Nrrx2)1(*时，可以使我们获得最大的持续捕捞量。此时NrrNrrNrNrrrxNrxrxh4)1(4)1(21)1()1()(22222***即最大持续捕捞量为,4)1(2Nrr三、随机优化数学模型实例在微分方程中，我们讲过一些简单的的最优化数学模型，如利润的最大化、平均成本的最小化、用料最省等问题，它们都是确定性的问题。实际上，很多情况下某一个量受到一些随机因素的影响，这个量也就是随机变量，它的最优化就应是其均值（期望）的最优化，只要它的概率分布已知，就可以利用微积分的知识考虑它的最优化问题。下面看两个具体例子。例1假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X（单位：t），它服从[2000，4000]上的均匀分布。设每售出这种产品1t，可为国家挣得外汇3万元；但假如销售不出而囤积于仓库。则每t需浪费保养费1万元。问应当组织多少货源才能使国家收3/14益最大？解：因为]4000,2000[~UX所以其他04000200020001)(xxp设y表示某年预备出口的商品数，则收益为)()(33)(单位：万元yXXyXyXyXfY由式（14.3.2）得)1047000(10001]3)4([20001)(20001)()(622000400040002000-yyydxdxyxdxxfdxxpxfYEyy）（欲使)(YE最大，只要0)70002(10001)]([yYEdyd因而3500y，因此，组织3500t此种商品的货源是最好的决策。例2报童订购多少报纸才能获得最大的收入。报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退货价为c，显然应当有cba，这样...
