1.3.2圆内接四边形的性质与判定课时过关·能力提升1.下列说法正确的有()①圆的内接四边形的任何一个外角等于它的内角的对角;②圆内接四边形的对角相等;③圆内接四边形不能是梯形;④在圆的内部的四边形叫做圆内接四边形.A.0个B.1个C.2个D.3个解析:①是圆内接四边形的性质定理2,正确;圆内接四边形的对角互补,但不一定相等,②不正确;圆的内接四边形可以是梯形,③不正确;顶点在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形,④不正确.答案:B2.圆内接平行四边形的对角线()A.互相垂直B.互相垂直平分C.互相平分且相等D.相等且平分每组对角解析:圆内接平行四边形必为矩形,故其对角线互相平分且相等.答案:C3.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,E为AB的延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于()A.20°B.40°C.80°D.100°解析:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,且∠CBE=40°,由圆内接四边形的性质,知∠D=∠CBE=40°,又由圆周角定理知∠AOC=2∠D=80°.1答案:C4.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AH⊥CD,如果∠HAD=30°,那么∠B=()A.90°B.120°C.135°D.150°解析:∵AH⊥CD,∴∠AHD=90°.∵∠HAD=30°,∴∠D=90°-∠HAD=60°.又四边形ABCD内接于圆,∴∠B=180°-∠D=120°.答案:B5.如图,在☉O中,弦AB的长等于半径,∠DAE=80°,则∠ACD=()A.30°B.45°C.50°D.60°解析:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠BCD=∠DAE=80°.∵弦AB的长等于半径,∴弦AB所对圆心角为60°.∴∠ACB=12×60°=30°.∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°.答案:C26.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P,若PBPD=13,则BCAD的值为.解析:由于∠PBC=∠PDA,∠P=∠P,则△PAD∽△PCB,故BCAD=PBPD=13.答案:137.如图,两圆相交于A,B两点,过点A的直线交两圆于点C,D,过点B的直线交两圆于点E,F,连接CE,DF,若∠C=95°,则∠D=.答案:85°★8.已知圆内接四边形ABCD的边长分别是AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形ABCD的面积等于.解析:∵四点共圆,∴∠B+∠D=180°.∴cosB=-cosD.根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cosB,AC2=AD2+DC2-2AD×DC×cosD,∴AC2=22+62-2×2×6×cosB=22+62+2×2×6×cosD,AC2=42+42-2×4×4×cosD,∴cosD=-17,sinD=sinB=4√37.∴四边形ABCD的面积=12×AB×BC×sinB+12×AD×DC×sinD=8√3.答案:8√339.如图,四边形ABCD是圆的内接四边形,过点C作DB的平行线交AB的延长线于E点.求证:BE·AD=BC·CD.分析转化为证明△ADC∽△CBE.证明如图,连接AC.∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠ADC=∠EBC.又BD∥EC,∴∠CEB=∠DBA.∵∠ACD=∠DBA,∴∠CEB=∠ACD.∴△ADC∽△CBE.∴ADDC=BCBE,即BE·AD=BC·CD.★10.如图,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点,通过P作正方形的边的垂线,垂足分别为点E,F,G,H.你能判断出点E,F,G,H是否在同一个圆上吗?试说明你的猜想.分析根据正方形的对称性,可以猜想,此四个点应当在以O为圆心的圆上,于是连接线段OE,OF,OG,OH,再设法证明这四条线段相等.解:猜想:E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.证明如下:如图,连接线段OE,OF,OG,OH.4在△OBE,△OBF,△OCG,△OAH中,OB=OC=OA.∵四边形PEBF为正方形,∴BE=BF=CG=AH,∠OBE=∠OBF=∠OCG=∠OAH=45°.∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH.∴OE=OF=OG=OH.由圆的定义,可知E,F,G,H四个点在以O为圆心的圆上.5
