专题17圆锥曲线中的热点问题1．已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点，则椭圆C1的离心率e的取值范围为()A.B.C．(0,1)D.解析：由题意知m>0，n<0，椭圆与双曲线的焦点都在x轴上， 椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m＋2＋n＝m－n，n＝－1，∴e＝＝＝∈.答案：A2．椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是()A.B.C.D.解析：椭圆的左顶点为A1(－2,0)，右顶点为A2(2,0)，设点P(x0，y0)，则＋＝1，得＝－.而k＝，k＝，所以k·k＝＝－.又k∈[－2，－1]，所以k∈.答案：B3．过定点C(0，p)的直线与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，若点N是点C关于坐标原点的对称点，则△ANB面积的最小值为()A．2pB.pC．2p2D.p24．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为()A.B.C.D.解析：依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a>0，b>0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y，得－＝1，即(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(*)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2>0且a2≠b2)，由此解得0
0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(2,1＋)D．(1,1＋)解析：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF<45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则0⇒e2－e－2<0⇒－11，则10，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线上一点且|PF1|＝2|PF2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．解析：由双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝2a，而由题意|PF1|＝2|PF2|，故|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.又|F1F2|＝2c，由三角不等式有6a≥2c.又由定义有c>a，故离心率e＝∈(1,3]．答案：(1,3]8．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是________．9．设抛物线y2＝6x的焦点为F，已知A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝60°，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线为MN，垂足为N，则的最大值为________．解析：过A，B分别向准线作垂线，垂足分别为A1，B1，设|AF|＝a，|BF|＝b，如图，根据递形中位线性质知|MN|＝.在△AFB中，由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－32＝.所以|AB|≥，∴≤1.答案：110．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：，解得：a＝，c＝，∴b2＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，|AB|＝·＝，∴，解得：k4≥13，即k≥或k≤－.11．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，D、E分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S△DEF2＝1－.(1)求椭圆C1的方程；(2)在椭圆C1落在第一象限的图象上任取一点作C1的切线l，求l与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．(2) 直线l与椭圆C1相切于第一象限内的一点，∴直线l的斜率必存在且为负．设直线l的方程为：y＝kx＋m(k<0)，联立，消去y整理可得：x2＋2kmx＋m2...
