13.2.2不等式的证明A组专项基础训练(时间：50分钟)1．已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值．【解析】由柯西不等式(2x2＋3y2)·≥＝(x＋y)2＝1，∴2x2＋3y2≥，当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时，等号成立．所以2x2＋3y2的最小值为.2．(2017·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0，2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.【解析】(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明∵f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0，2]，∴解得a＝1，所以＋＝1(m＞0，n＞0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号．3．(2017·徐州模拟)设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．【解析】∵(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]·≥＝18.∴＋＋≥2.∴＋＋的最小值为2.4．设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝，求x＋y＋z.【解析】由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，即(x＋2y＋3z)2≤14，因此x＋2y＋3z≤.因为x＋2y＋3z＝，所以x＝＝，解得x＝，y＝，z＝，于是x＋y＋z＝.5．(2017·南京、盐城联考)已知△ABC的三边长分别为a，b，c.求证：＋＋≥a＋b＋c.【证明】因为[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]≥(a＋b＋c)2，又a＋b＋c＞0，所以＋＋≥a＋b＋c(当且仅当＝＝时取等号)．6．(2017·苏州模拟)已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．【解析】由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，当且仅当＝＝c－3时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.B组专项能力提升(时间：40分钟)7．(2016·课标全国Ⅱ)已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)＜2的解集．(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|＜|1＋ab|.【解析】(1)f(x)＝当x≤－时，由f(x)＜2，得－2x＜2，解得x＞－1，即－1＜x≤－；当－＜x＜时，f(x)＝1＜2，即－＜x＜；当x≥时，由f(x)＜2，得2x＜2，解得x＜1，即≤x＜1.所以f(x)＜2的解集M＝{x|－1＜x＜1}．(2)证明由(1)知，当a，b∈M时，－1＜a＜1，－1＜b＜1，从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)＜0.因此|a＋b|＜|1＋ab|.8．(2017·黑龙江哈尔滨三中第二次检测)已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝2.(1)求证：ab＋bc＋ac≤；(2)若a，b，c都小于1，求a2＋b2＋c2的取值范围．【解析】(1)证明∵a＋b＋c＝2，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，∴2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca＝8，∴8＝2a2＋2b2＋2c2＋4ab＋4bc＋4ca≥6ab＋6bc＋6ac，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴ab＋bc＋ac≤.(2)∵a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝4，∴4≤a2＋b2＋c2＋a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2＝3(a2＋b2＋c2)，当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥.∵0＜a＜1，∴a＞a2.同理b＞b2，c＞c2.∴a2＋b2＋c2＜a＋b＋c＝2，∴≤a2＋b2＋c2＜2，∴a2＋b2＋c2的取值范围为.9．(2017·锦州一模)(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，求a的取值范围；(2)设x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范围．【解析】(1)∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，且|x－3|＋|x－4|＜a的解集不是空集，∴a＞1，即a的取值范围是(1，＋∞)．(2)由柯西不等式，得[42＋()2＋22]·≥＝(x＋y＋z)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.∴x＋y＋z的取值范围是[－5，5]．10．(2017·南京模拟)已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)．(1)求＋＋的最小值；(2)求证：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.【解析】(1)因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以＋＋≥3·＝3·≥3·＝3×＝6，当且仅当＝＝且a＝b，即a＝b＝且x1＝x2＝1时，＋＋有最小值6.方法二因为a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)＝a2x1x2＋abx＋abx＋b2x1x2＝x1x2(a2＋b2)＋ab(x＋x)≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab)＝x1x2(a＋b)2＝x1x2，当且仅当x1＝x2时，取得等号．所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.
