考点规范练12导数的概念及运算基础巩固组1.设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案D解析 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,且f(x)是奇函数,∴a-1=0,解得a=1.∴f(x)=x3+x,则f'(x)=3x2+1,∴f'(0)=1.即y-0=x-0,故切线方程为y=x,故选D.2.设f(x)=xlnx,若f'(x0)=2,则x0=()A.e2B.eC.ln22D.ln2答案B解析 f'(x)=lnx+x·1x=lnx+1,∴lnx0+1=2,得lnx0=1,即x0=e.3.(2017课标Ⅰ高考改编)曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为()A.y=-x+3B.y=x+1C.y=-2x+4D.y=2x答案B解析设y=f(x),则f'(x)=2x-1x2,所以f'(1)=2-1=1,所以在(1,2)处的切线方程为y-2=1×(x-1),即y=x+1.4.已知曲线y=x+1x-1在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-12D.12答案A解析由y'=-2(x-1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为-12,又切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2,故选A.5.点P是曲线y=32x2-2lnx上任意一点,则点P到直线y=x-52的距离的最小值为()1A.√2B.3√32C.3√22D.√5答案C解析当点P是曲线的切线中与直线y=x-52平行的直线的切点时,距离最小; y=32x2-2lnx,∴y'=3x-2x,令y'=1,解得x=1,∴点P的坐标为1,32.此时点P到直线y=x-52的最小值为¿1-32-52∨¿√2=3√22¿.故选C.6.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f'(5)=;f(5)=.答案-13解析f'(5)=-1,f(5)=-5+8=3.7.若对任意x∈(0,+∞),都有lnx≤ax恒成立,则实数a的取值范围为.答案1e,+∞解析在区间(0,+∞)上绘制函数y=lnx和函数y=ax的图象,若对任意x∈(0,+∞),lnx≤ax恒成立,则对数函数的图象应该恒不在一次函数图象的上方,如图所示为临界条件,直线过坐标原点,与对数函数相切,由y=lnx可得y'=1x,则在切点(x0,lnx0)处对数函数的切线斜率为k=1x0,即切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),切线过坐标原点,则0-lnx0=1x0(0-x0),解得x0=e,则切线的斜率k=1x0=1e.2由此可得,实数a的取值范围为1e,+∞.8.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是.答案y=-2x-1解析当x>0时,-x<0,则f(-x)=lnx-3x.因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=lnx-3x,所以f'(x)=1x-3,f'(1)=-2.故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.能力提升组9.曲线f(x)=xlnx在点(e,f(e))(e为自然对数的底数)处的切线方程为()A.y=ex-2B.y=2x+eC.y=ex+2D.y=2x-e答案D解析因为f(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,故切线的斜率k=f'(e)=2,因为f(e)=e,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e,故选D.10.已知y=a分别与直线y=2x+2,曲线y=x+lnx交于点A,B,则|AB|的最小值为()A.3B.2C.3√24D.32答案D解析设A(x1,a),B(x2,a),则2(x1+1)=x2+lnx2,∴x1=12(x2+lnx2)-1,∴|AB|=x2-x1=12(x2-lnx2)+1,令y=12(x-lnx)+1,则y'=121-1x,∴函数在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,∴x=1时,函数的最小值为32.故选D.11.已知函数f(x)=x(a-1ex),曲线y=f(x)上存在两个不同的点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,则实数a的取值范围是()A.(-e2,+∞)B.(-e2,0)3C.(-1e2,+∞)D.(-1e2,0)答案D解析 曲线y=f(x)上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直,∴f'(x)=a+(x-1)e-x=0有两个不同的解,即得a=(1-x)e-x有两个不同的解,设y=(1-x)e-x,则y'=(x-2)e-x,∴x<2,y'<0,x>2,y'>0,y=(1-x)e-x在(-∞,2)上递减,在(2,+∞)上递增.∴x=2时,函数取得极小值-e-2,又因为当x>2时总有y=(1-x)e-x<0,所以可得数a的取值范围是(-1e2,0),故选D.12.设函数y=f(x)在区间(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在区间(a,b)上的导函数为f″(x),若在区间(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”.已知f(x)=112x4-16mx3-32x2,若对任意的实数m满足|m|≤2时,函数f(x)在区间(a,b)上为“凸函数”,则b-a的最大值为()A.4B.3C.2D.1答案C解析当|m|≤2时,f″(x)=x2-mx-3<0恒成立等价于当|m|≤2时,mx>x2-3恒成立.当x=0时,f″(x)=-3<0显然成立.当x>0时,mx>x2-3⇒m>x-3x, m的最小值是-2,∴x-3x<-2,从而解得0x2-3⇒m2,从而解得-1
