高中数学 第三章 圆锥曲线的方程 3.3.1 抛物线及其标准方程课时分层作业（含解析）新人教A版选择性必修第一册-新人教A版高二选择性必修第一册数学试题VIP免费

课时分层作业(二十五)(建议用时：40分钟)一、选择题1．在平面内，“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当定点在定直线上时，其动点轨迹不是抛物线，反过来抛物线上的点满足到焦点的距离等于到准线的距离，故应选B.]2．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．4D[y2＝2px的焦点为，而椭圆的右焦点为(2,0)，由＝2得p＝4.故选D.]3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－C[抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]4．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为()A．2B．4C．6D．4D[如图， △FPM是等边三角形，∴由抛物线的定义知PM⊥l.在Rt△MQF中，|QF|＝2，∠QMF＝30°，∴|MF|＝4，∴S△PMF＝×42＝4.故选D.]5.如图所示，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是(单位：万元)()1A．(2＋)aB．2(＋1)aC．5aD．6aC[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2km处，∴B到点A的水平距离为3(km)，∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C.]二、填空题6．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．4[抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]7．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．(－6,6)或(－6，－6)[设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6.因此P(－6,6)或P(－6，－6)．]8．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB＋FC＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝________.6[因为FA＋FB＋FC＝0，所以点F为△ABC的重心，则A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA＋xB＋xC＝3，所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝xA＋1＋xB＋1＋xC＋1＝6.]三、解答题9.探照灯反射镜(如图)的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处．已知灯口圆的直径为60cm，灯深40cm，求抛物线的标准方程和焦点坐标．[解]如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．2设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)，由已知条件可得点A的坐标是(40,30)，且在抛物线上，代入方程，得302＝2p·40，解得p＝.故所求抛物线的标准方程为y2＝x，焦点坐标是.10.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．[解](1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.11．(多选题)对标准形式的抛物线，下列条件满足抛物线方程为y2＝10x的有()A．焦点在x轴上B．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C．焦点到准线的距离为5D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)ACD[抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，A满足；设M(1，y0)是抛物线y2＝10x上一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以B不满足；因为y2＝10x中p＝5，所以焦...