第二章2.42.4.1请同学们认真完成练案[17]A级基础巩固一、选择题1．在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是(A)A．直线B．抛物线C．圆D．双曲线[解析] 点(1,1)在直线x＋2y＝3上，故所求点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线．2．抛物线y2＝4x的焦点到其准线的距离是(C)A．4B．3C．2D．1[解析] 抛物线的方程为y2＝4x，∴2p＝4，p＝2.由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝2.故选C．3．抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0的对称曲线的焦点坐标为(B)A．(1,0)B．(－1,0)C．D．[解析]由题意可得：抛物线x2＝4y关于直线x＋y＝0对称的抛物线方程为：(－y)2＝4(－x)，即y2＝－4x，其中p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(－1,0)．故选B．4．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为(D)A．圆B．椭圆C．直线D．抛物线[解析]如图，设点P为满足条件的一点，不难得出结论：点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，故点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，故点P的轨迹为抛物线，因此选D．5．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离为(B)A．12B．8C．6D．4[解析] 点P到y轴的距离为6，∴点P到抛物线y2＝8x的准线x＝－2的距离d＝6＋2＝8，1根据抛物线的定义知点P到抛物线焦点的距离为8.6．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A．2B．2C．2D．4[解析]抛物线C的准线方程为x＝－，焦点F(，0)，由|PF|＝4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP＝3，从而yP＝±2，∴S△POF＝|OF|·|yP|＝××2＝2.二、填空题7．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为__－__.[解析]抛物线方程化为标准形式为x2＝y，由题意得a<0，∴2p＝－，∴p＝－，∴准线方程为y＝＝－＝2，∴a＝－.8．沿直线y＝－2发出的光线经抛物线y2＝ax反射后，与x轴相交于点A(2,0)，则抛物线的准线方程为__x＝－2__(提示：抛物线的光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行)．[解析]由直线y＝－2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点，故准线方程为x＝－2.三、解答题9．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．[解析] 点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x,6)．又 点M到准线的距离为10，∴解得或故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.10．求顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(－2,3)的抛物线的标准方程．[解析] 点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴p＝，p′＝，∴抛物线方程为y2＝－x或x2＝y.B级素养提升一、选择题1．抛物线y2＝x的焦点坐标是(B)A．B．C．D．[解析]由y2＝x知p＝，∴焦点坐标为(，0)，故选B．2．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为(D)A．2B．3C．4D．5[解析]解法一： y＝4，∴x2＝4·y＝16，∴x＝±4，∴A(±4,4)，焦点坐标为(0,1)，2∴所求距离为＝＝5.解法二：抛物线的准线为y＝－1，∴A到准线的距离为5，又 A到准线的距离与A到焦点的距离相等．∴距离为5.3．(多选题)已知抛物线y2＝4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l：4x－3y＋11＝0的距离为d2，则d1＋d2的取值可以为(ABD)A．3B．4C．D．[解析]抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离，所以过焦点F(1,0)作直线4x－3y＋11＝0的垂线，则F到直线的距离为d1＋d2的最小值，如图所示：所以(d1＋d2)min＝＝3，选项A，B，D均大于或等于3.4．(多选题)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，斜率为的直线l经过点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是(ABC)A．p＝4B．DF＝FAC．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝4[解析]如下图所示：分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.抛物线C的准线m交x轴于点P，则|PF|＝p，由于直线l的斜率为，其倾斜角为60°， AE∥x轴，∴∠EAF＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF为等边三角形，∴∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2...
