由递推公式求数列通项中的数学思想递推公式是认识数列的一种重要形式，是给出数列的基本方式之一。在近几年高考题目中均有此类题，特别是2004年全国及各省市地方命题中以较大分值出现；而且数列是初等数学与高等数学的衔接点之一。另一个面，数学思想方法的考查在高考中逐年加大了它的份量。学习数学的根本目的在于培养数学能力，即运用数学解决实际问题和进行发明创造的本领，而这种能力，不仅表现在对数学知识的记忆，而且更主要地反映在数学思想方法的素养上。因此，研究由递推公式求数列通项公式中的数学思想方法是很有必要的。一．引入问题：已知数列{an}满足a1=1,且an+1=3na+1,求an。分析一：归纳法。由递推公式，可求出a2=4，a3=13，a4=40。则a2-a1=3=31，a3-a2=9=32，a4-a3=27=33。由此猜测：an-an-1=3n-1（可用数学归纳法证明），所以an-1-an-2=3n-2，an-2-an-3=3n-3……，a4-a3=33，a3-a2=32，a2-a1=31，把上式子累加，得，an-a1=31+32+33+……+3n-1=，得an=312n。分析二：构造法。由an+1=3na+1，得an+1+12=3（an+12），即数列{an+12}为一个公比为3的等比数列，则an+12=(1+12)·3n-1=312n。分析三：迭代法。an=3an-1+1=3(3an-2+1)+1=32an-2+31+1=…=3n-1a1+3n-21+3n-31+…+31+1=312n点评：（1）分析一中先猜测出前后两项差的关系，再用累加法求出通项；这种用不完全归纳法求出前几项再找规律的的方法，对所有求数列通项的题均适用，应培养归纳能力；（2）分析二中构造出新数列，由新数列求出an的通项；（3）分析三使用迭代法，这也是由递推式求通项的基本方法。本文将由此例题展开，对它进行各种变形，力求归纳出由递推公式求通项公式的方法。二．基本概念：递推公式：如果已知数列的首项（或前几项），而且数列的任一项an与它的前一项（或前几项）之间的关系可用公式的形式，这个公式叫递推公式。三．题型1例1.已知数列{an}满足a1=1,而且an+1=an+1，求an。例2.已知{an}满足a1=1,且an+1=3na，求an。分析：例1中，由已知条件得an+1-an=1，即{an}为等差数列；例2中，得1nnaa=3，即{an}为等比数列。点评：（1）例1由引入问题中3变为1；例2由引入问题中的1变为0；（2）递推式为an+1=an+d及an+1=qan（d,q为常数）时，可直接转化为等差数列或等比数列从而求解。用心爱心专心（3）今年北京考题中有这样一题：定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做此数列的公和；已知数列{an}满足a1=2，公和为5，那么a18的值为；这个数列的前n项和Sn的计算公式为。显然，可把等和数列理解为an+1+an=d形式，即摆动数列。四．题型2例3.已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有12(1)nnaann，求an。分析：由已知，12(1)nnaann，122(1)nnaann，……，32234aa，21223aa，累加，得an-a1=11112...(1)(1)(2)(1)23nnnnnn=11221n。点评：（1）例3由例1中的常数项1变为f(n)而得来；（2）递推式为an+1=an+f(n)，只要f(1)+f(2)+……+f(n-1)是可求的，可用累加法求出。（3）今年安徽题中也有这样一题：已知数列{an}中a1=1，且a2k=a2k-1+(-1)k，a2k+1=a2k+3k，其中k=1,2,3……（1）求a3，a5（2）求数列{an}的通项公式。这是一个an+1=an+f(n)型的函数，只不过偶数项减奇数项与奇数项减偶数项的f(n)不同而已，依照上法，可以轻松求解。（4）运用类比推理的思想方法，把例3与例1的形式进行比较后可看出类似之处，从而在方法上类同。五．引入问题——基本题型的归纳对递推式为an+1=pan+q（p、q为常数）时，可构造新数列an+1+1qp=p(an+1qp)。其证明的简略过程如下：由an+1=pan+q，令an+1+x=p(an+x)，化简，得an+1=pan+px-x，因此px-x=q，即x=1qp。得证。例4：已知数列{an}中，a1=1，13nnnaaa，求an。分析：把两边取倒数，可得11131nnaa。令1nnba，则bn+1=3bn+1，即引入问题，按上法可求解。点评：（1）转换问题，化成基本型后求解（运用反思维定势定势方法中的转移思维方法）（2）对分式型递推数列可归纳...
