第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为()A.＋y2＝1B.x2＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.故选A.答案：A2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等解析：可知两个方程均表示焦点在x轴上的椭圆，前者焦距为2c＝2＝8，后者焦距为2c＝2＝8.故选D.答案：D3．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：因为P，再由∠F1PF2＝60°，有＝2a，从而可得e＝＝，故选B.答案：B4．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a＝12，∴a＝6.∵椭圆的离心率为，∴＝，∴＝，解得b2＝9，∴椭圆G的方程为＋＝1.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．F1，F2是椭圆C：＋＝1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为________．解析：当P在短轴端点时，∠F1PF2为直角，从而在椭圆上存在2个位置使PF1⊥PF2.答案：26．在△ABC中，|AB|＝|BC|，cosB＝－，若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e＝________.解析：设|AB|＝|BC|＝1，又cosB＝－，则|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB|·|BC|·cosB＝，所以|AC|＝，则2a＝1＋＝，2c＝1，e＝＝.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)17．求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标．解析：椭圆方程可化为x2＋＝1，∴椭圆的焦点在y轴上，且a2＝25，b2＝1，∴c2＝a2－b2＝24，∴c＝2，a＝5，b＝1，∴长轴长为10，短轴长为2，焦点为(0，±2)，顶点坐标为(±1,0)，(0，±5)．8．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解析：(1)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．由已知得2a＝6，∴a＝3.又e＝＝，∴c＝2.∴b2＝a2－c2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(2)由题意知焦点在x轴上，故可设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，且两焦点为F′(－3,0)，F(3,0)．如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，∴c＝b＝3.∴a2＝b2＋c2＝18.∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.9．(10分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，若在椭圆上存在一点P，使∠F1PF2＝60°，求椭圆离心率e的取值范围．解析：由余弦定理得cos60°＝＝＝.解得|PF1|·|PF2|＝4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2，2即|PF1|·|PF2|＝，∵|PF1|·|PF2|≤2＝a2，∴3a2≥4(a2－c2)，解得≥.又∵椭圆中0
