课时分层作业(十九)导数在函数有关问题及实际生活中的应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为()A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不对B[设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．]2．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)()A．32，16B．30，15C．40，20D．36，18A[要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]3．函数y＝cosx＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])的图象大致为()A[由题意，函数f(x)＝cosx＋ln(|x|＋1)(x∈[－2π，2π])，满足f(－x)＝cos(－x)＋ln(|－x|＋1)＝cosx＋ln(|x|＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，且f(0)＝cos0＋ln(|0|＋1)＝1，f(π)＝cosπ＋ln(|π|＋1)∈(0，1)，排除C、D，又由当x∈(0，2π]时，f(x)＝cosx＋ln(x＋1)，则f′(x)＝－sinx＋，则f′＝－sin＋＜0，f′(π)＝－sinπ＋＞0，即f′·f′(π)＜0，所以函数在之间有一个极小值点，故选A.]14．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数g(x)＝x2＋2x＋a的零点个数为()A．0B．1C．2D．取决于a的值C[f′(x)＝2x·ex＋(x2＋a)·ex＝ex(x2＋2x＋a)＝ex·g(x)．因为函数f(x)有最小值，且由题意得最小值即其极小值，所以f′(x)＝0有解．当有一解x0时，在x0两侧f′(x)＞0都成立，此时f(x)是单调递增的，没有极值，不符合题意，舍去，因此f′(x)＝0有两解，即x2＋2x＋a＝0有两解，故g(x)有两个零点．]5．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是()A．100B．150C．200D．300D[由题意，得总成本函数为C(x)＝20000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝所以P′(x)＝令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大．]二、填空题6．已知函数f(x)＝x4＋9x＋5，则f(x)的图象在(－1，3)内与x轴的交点的个数为________．1[f′(x)＝4x3＋9，当x∈(－1，3)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，3)上单调递增，因为f(－1)＝－3＜0，f(0)＝5＞0，所以f(x)的图象在(－1，3)内与x轴只有一个交点．]7．用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为________时容器的容积最大．1．2m[设容器底面短边长为xm，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0，1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2m．]8．若x3＋ax2＋1＝0有一个实数根，则实数a的取值范围为________．2(，＋∞)[令f(x)＝x3＋ax2＋1，则f′(x)＝x2＋ax.由f(x)＝0有一个实数根，得Δ≤0(Δ是方程f′(x)＝0的根的判别式)或f(x1)·f(x2)＞0(x1，x2是f(x)的极值点)．①由Δ≤0，得a＝0；②令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a，则f(x1)·f(x2)＝－a3＋a3＋1＞0，即a3＞－1，所以a＞.综上，实数a的取值范围是(，＋∞)．]三、解答题9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？[解]设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.于是有p＝0.006v3.又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米...
