专题能力训练22坐标系与参数方程能力突破训练1.在直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(α为参数),若以O为极点,x轴的非负半轴为极轴,则曲线C的极坐标方程可写为.2.已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.3.已知两曲线参数方程分别为C1:(0≤θ<π)和C2:(t∈R),它们的交点坐标为.4.若直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.5.以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的极坐标方程为θ=(ρ∈R),它与曲线(α为参数)相交于两点A和B,则|AB|=.6.若直线l:(t为参数)与圆C:ρ=2cosθ相切,则k=.7.已知圆C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆C2的极坐标方程为ρ=2cos.(1)圆C1的参数方程化为普通方程为,圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程为;(2)圆C1,C2的公共弦长为.8.在极坐标系中,点到直线ρsin=1的距离是.思维提升训练9.已知曲线C1的参数方程是(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.10.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=2sinθ.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点P的坐标为(2,),则|PA|+|PB|=.11.已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程分别为;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',设曲线C'上任意一点为M(x,y),则x+2y的最小值为.12.已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数),点A的极坐标为,设直线l与圆C交于点P,Q.(1)圆C的直角坐标方程为;(2)|AP|·|AQ|=.##专题能力训练22坐标系与参数方程(选修4—4)能力突破训练1.ρ=2sinθ解析依题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,所以(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-2ρsinθ=0.化简得ρ=2sinθ.2.ρsin解析∵曲线C的参数方程为(t为参数),∴其普通方程为x2+y2=2.又∵点(1,1)在曲线C上,∴切线l的斜率k=-1.故l的方程为x+y-2=0,化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=2,即ρsin3解析消去参数θ得曲线方程C1为+y2=1(0≤y≤1),表示椭圆的一部分.消去参数t得曲线方程C2为y2=x,表示抛物线,可得两曲线有一个交点,联立两方程,解得故交点坐标为4解析由题意得直线y=xtanα,圆:(x-4)2+y2=4.如图,sinα=,∴α=5解析∵极坐标方程θ=(ρ∈R)对应的平面直角坐标方程为y=x,曲线(α为参数)的平面直角坐标方程为(x-1)2+(y-2)2=4,圆心(1,2),r=2,∴圆心到直线y=x的距离d=,|AB|=2=26.-7.(1)x2+y2=1=1(2)解析(1)由得x2+y2=1.又∵ρ=2cos=cosθ-sinθ,∴ρ2=ρcosθ-sinθ.∴x2+y2-x+y=0,即=1.(2)由圆心距d==1<2,得两圆相交.由得A(1,0),B∴|AB|=8.1解析ρsin==1,因为在极坐标系中ρcosθ=x,ρsinθ=y,所以直线可化为x-y+2=0.同理点可化为(,1),所以点到直线距离为d==1.思维提升训练9.(,1)解析由曲线C1的参数方程得y=x(x≥0),①曲线C2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x2+y2=4,②由①②联立解得故C1与C2交点的直角坐标为(,1).10.(1)x2+(y-)2=3(2)2解析(1)由ρ=2sinθ,得x2+(y-)2=3,故圆C的直角坐标方程为x2+(y-)2=3.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得=3,即t2-2t+1=0.由于Δ>0,故可设t1,t2是上述方程的两实根.所以t1+t2=2故由上式及t的几何意义,得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=211.(1)y=x-+2,x2+y2=1(2)-解析(1)由题意得直线l的普通方程为y-2=(x-1),圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.(2)易得曲线C':+y2=1.令则x+2y=3cosθ+2sinθ=sin(θ+φ),故x+2y的最小值为-12.(1)(x-1)2+y2=1(2)解析(1)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ.∵ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,∴x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1.∴圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.(2)由点A的极坐标,得点A的直角坐标为将代入(x-1)2+y2=1,消去x,y整理得t2-t-=0.设t1,t2为方程t2-t-=0的两个根,则t1t2=-,所以|AP|·|AQ|=|t1t2|=
