第六节简单的三角恒等变换A组基础题组1.(2019江西临川模拟)已知cos(π6-α)=❑√33,则sin(5π6-2α)的值为()A.13B.-13C.23D.-23答案Bsin(5π6-2α)=sin[π2+(π3-2α)]=cos(π3-2α)=cos[2(π6-α)]=2cos2(π6-α)-1=2×(❑√33)2-1=-13.故选B.2.若α∈(π2,π),且3cos2α=sin(π4-α),则sin2α的值为()A.-118B.118C.-1718D.1718答案C由3cos2α=sin(π4-α)可得3(cos2α-sin2α)=❑√22(cosα-sinα),又由α∈(π2,π)可知cosα-sinα≠0,于是3(cosα+sinα)=❑√22,所以1+2sinαcosα=118,故sin2α=-1718.3.(2019安徽淮南一模)设α∈(0,π2),β∈(0,π4),且tanα=1+sin2βcos2β,则下列结论正确的是()A.α-β=π4B.α+β=π4C.2α-β=π4D.2α+β=π4答案Atanα=1+sin2βcos2β=(sinβ+cosβ)2cos2β-sin2β=sinβ+cosβcosβ-sinβ=1+tanβ1-tanβ=tan(β+π4).因为α∈(0,π2),β+π4∈(π4,π2),所以α=β+π4,即α-β=π4.4.(2019湖北八校联考)已知3π≤θ≤4π,且❑√1+cosθ2+❑√1-cosθ2=❑√62,则θ=()A.10π3或11π3B.37π12或47π12C.13π4或15π4D.19π6或23π6答案D∵3π≤θ≤4π,∴3π2≤θ2≤2π,∴cosθ2≥0,sinθ2≤0,则❑√1+cosθ2+❑√1-cosθ2=❑√cos2θ2+❑√sin2θ2=cosθ2-sinθ2=❑√2cos(θ2+π4)=❑√62,∴cos(θ2+π4)=❑√32.∴θ2+π4=π6+2kπ或θ2+π4=-π6+2kπ,k∈Z,即θ=-π6+4kπ或θ=-5π6+4kπ,k∈Z.∵3π≤θ≤4π,∴θ=19π6或23π6,故选D.5.4cos50°-tan40°等于()A.❑√2B.❑√2+❑√32C.❑√3D.2❑√2-1答案C4cos50°-tan40°=4sin40°-sin40°cos40°=4cos40°sin40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2sin(120°-40°)-sin40°cos40°=❑√3cos40°+sin40°-sin40°cos40°=❑√3cos40°cos40°=❑√3.6.cosπ9·cos2π9·cos(-23π9)=.答案-18解析cosπ9·cos2π9·cos(-23π9)=cos20°·cos40°·cos100°=-cos20°·cos40°·cos80°=-sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°=-12sin40°·cos40°·cos80°sin20°=-14sin80°·cos80°sin20°=-18sin160°sin20°=-18sin20°sin20°=-18.7.[2sin50°+sin10°(1+❑√3tan10°)]·❑√2sin280°=.答案❑√6解析原式=(2sin50°+sin10°·cos10°+❑√3sin10°cos10°)·❑√2sin80°=(2sin50°+2sin10°·12cos10°+❑√32sin10°cos10°)·❑√2cos10°=2❑√2[sin50°·cos10°+sin10°·cos(60°-10°)]=2❑√2sin(50°+10°)=2❑√2×❑√32=❑√6.8.已知α∈(0,π2),且2sin2α-sinαcosα-3cos2α=0,则sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=.答案❑√268解析∵α∈(0,π2),且2sin2α-sinαcosα-3cos2α=0,则(2sinα-3cosα)(sinα+cosα)=0,∴2sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,∴cosα=2❑√13,sinα=3❑√13,∴sin(α+π4)sin2α+cos2α+1=❑√22(sinα+cosα)(sinα+cosα)2+(cos2α-sin2α)=❑√222cosα=❑√268.9.已知sin(α+π4)=❑√210,α∈(π2,π).求:(1)cosα的值;(2)sin(2α-π4)的值.解析(1)解法一:因为α∈(π2,π),所以α+π4∈(3π4,5π4).又sin(α+π4)=❑√210,所以cos(α+π4)=-❑√1-sin2(α+π4)=-❑√1-(❑√210)2=-7❑√210.所以cosα=cos[(α+π4)-π4]=cos(α+π4)cosπ4+sin(α+π4)sinπ4=-7❑√210×❑√22+❑√210×❑√22=-35.解法二:由sin(α+π4)=❑√210得sinαcosπ4+cosαsinπ4=❑√210,即sinα+cosα=15,结合sin2α+cos2α=1,得cosα=-35或cosα=45.因为α∈(π2,π),所以cosα=-35.(2)因为α∈(π2,π),又由(1)知cosα=-35,所以sinα=❑√1-cos2α=❑√1-(-35)2=45.所以sin2α=2sinαcosα=2×45×(-35)=-2425,cos2α=2cos2α-1=2×(-35)2-1=-725.所以sin(2α-π4)=sin2αcosπ4-cos2αsinπ4=(-2425)×❑√22-(-725)×❑√22=-17❑√250.10.已知函数f(x)=Acos(x4+π6),x∈R,且f(π3)=❑√2.(1)求A的值;(2)设α,β∈[0,π2],f(4α+43π)=-3017,f(4β-23π)=85,求cos(α+β)的值.解析(1)因为f(π3)=Acos(π12+π6)=Acosπ4=❑√22A=❑√2,所以A=2.(2)由f(4α+4π3)=2cos(α+π3+π6)=2cos(α+π2)=-2sinα=-3017,得sinα=1517,又α∈[0,π2],所以cosα=817.由f(4β-2π3)=2cos(β-π6+π6)=2cosβ=85,得cosβ=45,又β∈[0,π2],所以sinβ=35,所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=817×45-1517×35=-1385.B组提升题组1.(2019河南平顶山模拟)已知sinα=-45(α∈[3π2,2π]),若sin(α+β)cosβ=2,则tan(α+β)=()A.613B.136C.-613D.-136答案B∵sinα=-45,α∈[3π2,2π],∴cosα=35.由sin(α+β)cosβ=2,得sin(α+β)=2cos[(α+β)-α],即65cos(α+β)=135sin(α+β),故tan(α+β)=613.2.若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值,则cosθ等于()A.513B.-513C.1213D.-1213答案Bf(x)=5cosx+12sinx=13(513cosx+1213sinx)=13sin(x+α),其中sinα=513,cosα=1213,由题意知θ+α=2kπ-π2(k∈Z),得θ=2kπ-π2-α(k∈Z),所以cosθ=cos(2kπ-π2-α)=cos(π2+α)=-sinα=-513.3.已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若α∈(π2,π),且f(α)=❑√22,求α的值.解析(1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=cos2xsin2x+12cos4x=12(sin4x+cos4x)=❑√22sin(4x+π4),所以f(x)的最小正周期为π2,最大值为❑√22.(2)解法一:因为f(α)=❑√22,所以sin(4α+π4)=1.因为α∈(π2,π),所以4α+π4∈(9π4,17π4).所以4α+π4=5π2.故α=9π16.解法二:∵f(α)=❑√22,∴sin(4α+π4)=1.∴4α+π4=π2+2kπ,k∈Z.∴α=π16+kπ2,k∈Z.又∵α∈(π2,π),∴α=9π16.
