3.2导数的应用第1课时导数与函数的单调性1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③考察f′(x)在方程f′(x)＝0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.【知识拓展】1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.13.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(×)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(√)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(√)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(×)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(√)(6)三次函数在R上必有极大值和极小值.(×)1.(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为.答案(0,4)解析f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得00，得cosx<，又x∈(0，π)，所以0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.第1课时导数与函数的单调性题型一不含参数的函数的单调性例1(1)函数y＝x2－lnx的单调递减区间为.(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsinx＋cosx，则f(x)的单调递增区间是.答案(1)(0,1)(2)和解析(1)y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝(x>0).令y′<0，得00，则其在区间(－π，π)上的解集为和，即f(x)的单调递增区间为和.思维升华确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.3(1)函数y＝4x2＋的单调增区间为.(2)已知函数f(x)＝xlnx，则下面关于函数f(x)单调性的判断正确的是.①在(0，＋∞)上递增；②在(0，＋∞)上递减；③在(0，)上递增；④在(0，)上递减.答案(1)(2)④解析(1)由y＝4x2＋，得y′＝8x－，令y′>0，即8x...
