高二数学空间中的平行关系【本讲主要内容】空间中的平行关系直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行【知识掌握】【知识点精析】设a，b，c表示不重合的直线，，，表示不重合的平面1.∥b，b∥ca∥c2.∥,，a∥b3.，=b，a∥∥b4.a⊥，b⊥∥b5.∥b，aba∥6.a，∥a∥7.a，a⊥b，b⊥a∥8.∥，∥∥9.a⊥，a⊥∥10.a，b，ab=A，a∥，b∥∥【解题方法指导】平行关系的证明可划分为：直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行三种类型。由于直线与直线平行或用平面几何的定理直接证明，或由后两种情况推出，所以我们把直线与平面的平行和平面与平面的平行作为学习的重点。l.直线与平面平行的证明方法证明直线a与平面平行，常从以下两个方面进行思考：（1）转化为证明直线a与平面内的一条直线平行。思考时可按以下两步进行。①在平面内所给出的直线中，是否存在直线b与直线a平行，若存在的话，可利用平面几何证明两条直线平行的方法进行证明。如同位角相等，内错角相等等。②如果在平面内所给出的直线中找不到与直线a平行的直线，则应考虑添加辅助线。在平面内作出一条直线b，使它与直线a平行。（2）转化为证明平面与过直线a的平面β平行。过直线a作一个平面，如果能证明∥，则利用两个平面平行的性质定理，便可证出a∥的结论。作平面也可采用构造三角形的方法，让三角形的一边过直线a，证明另两边都与平行即可。2.平面与平面平行的证明方法证明平面与平面平行，最常用的证明方法是转化为证明直线与平面平行。如果我们能在平面（或）内找到两条相交直线都与平面（或）平行的话，则问题迎刃而解。例1.如图，ABCD与ABEF是两个全等的正方形，M、N分别是对角线AC、BF上的点，且AM=FN，求证：MN∥平面BCE用心爱心专心证明：连结AN交BE（或其延长线）于P，连结CP，在平面ABEF内， BP∥AF∴∴，∴从而，在平面ACP内，有MN∥CP CP平面ACP内，MN平面BCE∴MN∥平面BCE评注：判定定理若另外方法：；或a或α无公共点，则平行例2.ABCD—A1B1C1D1是正方体，M、N、P、Q、R、S分别是棱长AA1、AB、AD、CC1、B1C1、C1D1的中点用心爱心专心求证：平面PMN∥平面QRS证法一：连结BD、B1D1 N、P、R、S分别为AB、AD、B1C1，C1D1中点∴NP∥BD，SR∥B1D1又 正方体ABCD—A1B1C1D1中BD∥B1D1∴NP∥SR PN平面QRS，SR平面QRS∴NP∥平面QRS同理可证MN∥平面QRS NPMN=N，NP平面MNP，MN平面MNP∴平面MNP∥平面QRS证明二：连结AC1、A1C1、B1D1，由题设知A1C1⊥B1D1∴AC1⊥B1D1（三垂线定理） PN∥SR∥B1D1∴AC1⊥SR，AC1⊥PN分别连结A1B，AB1，同理可证AC1⊥MN，AC1⊥SQ MNPN=N，SQSR=S∴AC1⊥平面MNP，AC1⊥平面SQR∴平面MNP∥平面QPS评注：方法规律①利用面面平行的判定定理；②垂直于同一条直线的两个平面平行。【考点突破】【考点指要】本节内容高考中多以简单几何体，尤其是柱体为依托，借助其丰富的线面关系，直接或间接考查线线，线面、面面平行的关系。面面平行问题常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，所以要注意转化思想的应用。【典型例题分析】例1.（2004天津）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。用心爱心专心求证：PA∥平面EDB分析：欲证PA∥平面EDB，可先证PA与平面EDB内的某条直线平行证明：连结CA，与BD交于点O，连结EO ABCD是正方形∴O为AC中点 E为PC中点∴OE∥PA OE平面EDB∴PA∥平面EDB点评：由线线平行证明线面平行是证线面平行的主要方法，关键是能在平面内找出与待证直线平行的直线。例2.（2005年江苏）设、为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若⊥，，则∥；②若，，m∥，n∥，则∥；③若∥，，则∥；④若=l，，l∥，则m∥n其中，真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4解析：B①显然不对；②要保证m、n相交才有∥，此选项不对；③两个平面平行，在一个平面内的任一直线都与另一平面平行，对！用心爱心专心④由l∥，，，则l∥m又，故l∥又且，于是l∥n进一步l∥m∥n，故④对。点评：通过本题要求考生掌握线面平行关系的一些定理，推论及正确结论的证明方法。【综合测试】一.选择题1...
