课时分层作业(七)等比数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．等比数列{an}中，若a2a6＋a＝π，则a3a5等于()A.B.C.D．πC[由题意可知a2a6＝a＝a3a5，∴a3a5＝，故选C.]2．已知在等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则等于()A.B.C.D.D[由a2·a8＝a4·a6＝6，a4＋a6＝5，a6＜a4，得a6＝2，a4＝3，＝＝，故选D.]3．将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，….此数列是()A．公比为q的等比数列B．公比为q2的等比数列C．公比为q3的等比数列D．不一定是等比数列B[由于＝×＝q·q＝q2，n≥2且n∈N＋，∴{anan＋1}是以q2为公比的等比数列，故选B.]4．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于()A．－24B．0C．12D．24A[由题意可知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前4项依次为－3，－6，－12，－24，故选A.]5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．4B．6C．7D．5D[∵{an}为等比数列，∴a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9也成等比数列，∴(a4a5a6)2＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50，又{an}各项为正，故a4a5a6＝5.]二、填空题6．在等比数列{an}中，若a2，a8是方程x2－3x＋6＝0的两个根，则a4a6＝________.6[由题知a2·a8＝6，根据等比数列的性质，a4·a6＝a2a8＝6.]7．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝________.1[设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质并结合已知条件得a＝4·aq4.1∴q4＝，q2＝，∴a3＝a1q2＝2×＝1.]8．等差数列{an}的公差d≠0，a1＝20，且a3，a7，a9成等比数列，则d＝________.－2[由a3，a7，a9成等比数列，则a3a9＝a，即(a1＋2d)(a1＋8d)＝(a1＋6d)2，化简得2a1d＋20d2＝0，由a1＝20，d≠0，得d＝－2.]三、解答题9．已知等比数列{an}，若a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.[解]法一：因为a1a3＝a，a1a2a3＝a＝8，所以a2＝2.从而解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝.故an＝2n－1或an＝23－n.法二：由等比数列的定义，知a2＝a1q，a3＝a1q2.代入已知，得即即将a1＝代入①，得2q2－5q＋2＝0，所以q＝2或q＝.由②得或故an＝2n－1或an＝23－n.10．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．[解]由已知，可设这三个数为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解得d＝－6或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4,2,8或8,2，－4.211．已知各项不为0的等差数列{an}满足a4－2a＋3a8＝0，数列{bn}是等比数列且b7＝a7，则b2b8b11等于()A．1B．2C．4D．8D[由已知，a4－2a＋3a8＝0，即4a7－2a＝0，又各项不为0，a7＝2，所以b7＝2，则b2b8b11＝b＝8.]12．(多选题)在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝()A.B．1C.D．2AC[因为a7a11＝a4a14＝6，又a4＋a14＝5，所以或所以＝q10＝，所以＝或＝.]13．(一题两空)等比数列{an}是递减数列，前n项的积为Tn，若T13＝4T9，则a10a11a12a13＝________，a8a15＝________.42[∵T13＝4T9，∴a1a2…a9a10a11a12a13＝4a1a2…a9.∴a10a11a12a13＝4.又∵a10·a13＝a11·a12＝a8·a15，∴(a8·a15)2＝4.∴a8a15＝±2.又∵{an}为递减数列，∴q>0.∴a8a15＝2.]14．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.－9[由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项为负，∴q<0.又∵|q|>1，∴{an}的连续四项为－24,36，－54,81.∴q＝＝－，∴6q＝－9.]15．在等差数列{an}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项．已知数列a1，a3，ak1，ak2，…，akn，…成等比数列，求数列{kn}的通项kn.[解]依题意得an＝a1＋(n－1)d，a＝a1a4，3∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，整理得d2＝a1d，∵d≠0，∴d＝a1，得an＝nd.∴由已知得d,3d，k1d，k2d，…，knd，…是等比数列．又d≠0，∴数列1,3，k1，k2，…，kn，…也是等比数列，首项为1，公比为q＝＝3，由此得k1＝9.等比数列{kn}的首项k1＝9，公比q＝3，∴kn＝9×3n－1＝3n＋1(n＝1,2,3，…)，即得到数列{kn}的通项为kn＝3n＋1.4
