三角形、梯形的中位线【目的要求】1.要求掌握三角形，梯形中位线定义．2.要求掌握三角形、梯形中位线定理．3.在定理的证明和解题的过程中，培养运用“转化”思想，引导学生会添加适当的辅助线，把未知转化为已知，用已掌握的知识来研究新问题，从而提高分析问题和解决问题的能力．【知识要点】1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．【重点与难点分析】重点：三角形、梯形中位线的概念及定理．通过三角形、梯形中位线的概念及定理的证明的学习使学生掌握三角形、梯形中位线的定义，掌握三角形、梯形的中位线定理及其应用．难点：1.三角形中位线定理的证明，课本采用“同一法”证明的，其基础是(1)三角形中位线定理与平行线等分线段定理的推论1是互为逆命题的关系．(2)线段的中点是唯一的，过两点的直线也是唯一的．定理证明的其它方法：(1)通过旋转图形构造基本图形──平行四边形．(2)过三个顶点分别向中位线作垂线．2.梯形中位线定理的证明，课本采用“化归”思想，把梯形中位线问题化归为三角形中位线问题来证明．定理证明的其它方法：(1)连结一条对角线(2)过上底一端作一腰平行线(3)过一腰中点作另一腰平等线．3.通过添加辅助线解决有关三角形中位线、梯形中位线的问题，提高分析问题，解决问题的能力．【典型例题】例一、已知：在梯形ABCD中AD∥BC，对角线AC⊥BD，EF为梯形的中位线∠DBC=30°求证：EF=AC．分析：第一种证法：平移对角线AC至DG位置，将梯形问题转化为三角形问题第二种证法：在特殊的Rt三角形中去求解，即证AO=AD，OC=BC得到AC=(AD＋BC)证法1：过D作DG∥AC与BC的延长线交于一点G AC⊥BD于O∴∠BOC=∠BDG=90° AD∥BC即AD∥CG∴四边形ACGD为平行四边形∴CG=AD，DG=AC∴DG=BG，即AC=(BD＋CG)=(BC＋AD) EF为梯形ABCD的中位线∴EF=(BC＋AD)∴EF=AC．证法2： AD∥BC∴∠ADB=∠DBC=30° AC⊥BD于O∴AO=AD，OC=BC∴AC=(AD＋BC) EF为梯形ABCD的中位线∴EF=(AD＋BC)∴EF=AC.例二、已知：在DABC中，AG⊥BC于G，E、F、H分别为AB、BC、CA的中点．求证：四边形EFGH为等腰梯形．分析：要证四边形EFGH为等腰梯形即证EH∥BC，通过E、H为AB、AC中点可证，再证EF=HG=AC，而E、F为AB、BC中点EF=AC，GH为RtDAGH斜边上中线也可得HG=AC或证梯形EFGH同一底上的两个角相等．证法一： E、F、H分别为AB、BC、CA的中点∴EH、EF为DABC的中位线∴EH∥BC，EF=AC、EH=BC∴AG⊥BC，H为AC中点∴HG=AC∴EF=HG EH=BC，FG＜BC∴EH≠FG∴EF不平行HG∴四边形EFGH为等腰梯形．证法二： E、F、H分别为AB、BC、CA的中点∴EF、EH为DABC的中位线∴EH∥BC，EF∥ACEH=BC FG＜BC∴EH≠FG∴EF不平行于HG∴四边形EFGH是梯形∴∠EFC＋∠C=180°即∠EFC=180°－∠C AG⊥BC于G，H为AC中点∴HG=AC，即HG=HC∴∠HGC=∠C ∠HGB＋∠HGC=180°即∠HGB=180°－∠HGC∴∠EFC=∠HGB∴梯形EFGH是等腰梯形.例三、已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，AF为∠BAC的平分线，交BD于E，BC于F．求证：OE=FC．分析：欲证OE=FC需找到一条与OE相等且与FC有关的一条线段，添加辅助线过O作OG∥BC，由于O为正方形对角线交点，O为AC中点，推出G为AF中点，因此有OG=FC，再通过三角形内角和定理证出∠3=∠4推出OG=OE，从而得出题证．证明：过O作OG∥BC交AF于G，则∠5=∠ACB 四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于O∴AO=CO=OBAC⊥BD∠BAC=∠ACB=45°∴∠5=45°∴G为AF的中点∴OG为DAFC的中位线∴OG=FC AF平分∠BAC∴∠1=∠2=22.5°∴∠4=67...
