习题课--直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案巩固提升A组1.直线y=x+b交抛物线y=x2于A,B两点,O为抛物线顶点,OA⊥OB,则b的值为()A.-1B.0C.1D.2解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+b代入y=x2,化简可得x2-2x-2b=0,故x1+x2=2,x1x2=-2b,所以y1y2=x1x2+b(x1+x2)+b2=b2.又OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,即-2b+b2=0,则b=2或b=0,经检验b=0时,不满足OA⊥OB,故b=2.答案:D2.(2016·全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得,即,整理,得,故椭圆的离心率e=,故选A.答案:A3.已知双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=1解析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为(x-3)2+y2=1,1∴圆心为(3,0),半径为1.双曲线=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x. 双曲线的渐近线与圆C相切,∴=1.又双曲线的右焦点为圆C的圆心,∴c=3.结合c2=a2+b2解得b=1,a=2.∴双曲线的方程为-y2=1.故选C.答案:C4.已知双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)∪(,+∞)C.(,+∞)D.[,+∞)解析:直线y=2x必过原点,要使直线与双曲线有交点,则双曲线渐近线的斜率|k|>2,即>2,则有>4,所以e2=>5,所以e>.故选C.答案:C5.若过椭圆=1内一点(2,1)的弦被该点平分,则该弦所在直线的方程是.解析:设弦两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1,两式相减并把x1+x2=4,y1+y2=2代入得,=-.∴所求直线的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.答案:x+2y-4=06.过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,若|FA|+|FB|=4,=0,则双曲线C的方程为.2解析: ,∴FA⊥FB,∴△AFB为直角三角形. 过原点的直线l与双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右两支分别相交于A,B两点,F(-,0)是双曲线C的左焦点,∴|AB|=2.设|FB|=x,则|FA|=4-x,∴x2+(4-x)2=12,∴x2-4x+2=0,∴x=2±,∴|FB|=2+,|FA|=2-,∴2a=|FB|-|FA|=2,∴a=,∴b=1,∴双曲线C的方程为-y2=1.答案:-y2=17.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上一点,且=-4,则点A的坐标为.解析:设A,则, F(1,0),∴.∴=-=-4.整理得,+12-64=0,∴=4,即y0=±2.∴点A坐标为(1,±2).答案:(1,±2)8.焦点分别为(0,5)和(0,-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程.解设椭圆的方程为=1(a>b>0),且a2-b2=(5)2=50,①3由消去y,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.设弦两端点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=. ,∴,即a2=3b2,②此时Δ>0.由①②得a2=75,b2=25,∴椭圆的方程为=1.9.抛物线y2=x上存在P,Q两点关于直线y-1=k(x-1)对称,求k的取值范围.解设P(x1,y1),Q(x2,y2),∴①-②,得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2,∴∴y1+y2=-k.∴-1=k=[(y1+y2)2-2y1y2-2].∴-k-2=k[k2-2y1(-k-y1)-2],∴2k+2k2y1+k3-k+2=0,∴Δ=4k4-8k(k3-k+2)>0,∴k(-k3+2k-4)>0,∴k(k3-2k+4)<0,∴k(k+2)(k2-2k+2)<0,∴k∈(-2,0).10.导学号90074086如图,已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;4(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.解(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理,点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|==8.令4k-3=t,t≠0,则k=.当t>0时,|MN|=2>2.当t<0时,|MN|=2.综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.B组1.等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,点A在x轴上方,则△ABO的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p2解析:由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=x,由得A(2p,2p),则B(2p,-2p),所以|AB|=4p,所以S△ABO=×4p×2p=4p2.故选B.答案:B52.抛物线y=2x2上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线y=x+m...
