题组层级快练(四十五)1．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30答案B解析观察归纳可知第n个三角形数为1＋2＋3＋4＋…＋n＝，∴第七个三角形数为＝28.2．(2019·深圳一摸)已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2019＝()A．3B．－3C．6D．－6答案A解析 a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6为周期的周期数列．又2019＝6×336＋3，∴a2019＝a3＝3.选A.3．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1等于()A．nB．n＋1C．n－1D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又 1*1＝1，∴n*1＝n.4．(2019·邯郸一中月考)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是()窗口12过道345窗口6789101112131415……………A.48，49B．62，63C．75，76D．84，85答案D解析由已知图中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D项符合条件．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)答案D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199答案C解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.7．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N*)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝()A.B.C.D.答案B解析由图案可得第n个图案中的点数为3n，则an＝3n－3，∴＝＝－，∴＋＋＋…＋＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝，故选B.8．如图，根据图中的数构成的规律，a表示的数是()122343412124548a485A．12B．48C．60D．144答案D9．(2019·辽宁丹东联考)已知“整数对”按如下规律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第70个“整数对”为()A．(3，9)B．(4，8)C．(3，10)D．(4，9)答案D解析因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1，12)，第68个“整数对”是(2，11)，第69个“整数对”是(3，10)，第70个“整数对”是(4，9)．故选D.10．已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C对应的三边，若满足a2＋b2＝c2，即()2＋()2＝1，则△ABC为直角三角形，类比此结论可知，若满足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能答案A解析由题意知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即()n＋()n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以()2＋()2>()n＋()n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝>0，所以0
