课时训练9双曲线及其标准方程1.已知双曲线=1上一点P到双曲线的一个焦点的距离为3,则点P到另一个焦点的距离为().A.3B.5C.6D.9答案:D解析:根据双曲线定义知||PF1|-|PF2||=6.又∵|PF1|=3,故|PF2|=9.2.若方程=1表示的图形是双曲线,那么k的取值范围是().A.k>5B.k>5或-22或k<-2D.-20,得k>5或-20,b>0).由·=0,得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20,又根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a,两边平方代入|PF1|·|PF2|=2得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,所以双曲线方程为-y2=1.9.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判别△MF1F2的形状.解:(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为=1,则有解得a2=3,b2=2,所以双曲线的标准方程为=1.(2)不妨设点M在右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,2因为|MF1|+|MF2|=6,所以|MF1|=4,|MF2|=2.又|F1F2|=2,因此在△MF1F2中,边MF1最长,而cos∠MF2F1=<0,所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.10.如图,已知定圆F1:x2+y2+10x+24=0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.解:圆F1:(x+5)2+y2=1,∴圆心F1(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42,∴圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3.∴M点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线(左支),且a=,c=5.∴b2=.∴双曲线方程为x2-y2=1.3
