高考数学大二轮复习 专题7 立体几何 第2讲 综合大题部分真题押题精练 文-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲综合大题部分1.(2018·高考天津卷)如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB＝2，AD＝2，∠BAD＝90°.(1)求证：AD⊥BC；(2)求异面直线BC与MD所成角的余弦值；(3)求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．解析：(1)证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC.(2)如图，取棱AC的中点N，连接MN，ND.又因为M为棱AB的中点，所以MN∥BC.所以∠DMN(或其补角)为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM＝1，故DM＝＝.因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC.在Rt△DAN中，AN＝1，故DN＝＝.在等腰三角形DMN中，MN＝1，可得cos∠DMN＝＝.所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为.(3)如图，连接CM.因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，所以CM⊥AB，CM＝.又因为平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，而CM⊂平面ABC，故CM⊥平面ABD，所以∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD＝＝4.在Rt△CMD中，sin∠CDM＝＝.所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.2．(2018·高考北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．解析：(1)证明：由∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD，故AB⊥PD，又AP∩PD＝P，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)如图所示，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.设AB＝x，则由已知可得AD＝x，PE＝x.故四棱锥PABCD的体积VPABCD＝AB·AD·PE＝x3.由题设得x3＝，故x＝2.从而PA＝PD＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.可得四棱锥PABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin60°＝6＋2.4.(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积．解析：(1)证明：在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，故BC∥平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝x.因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，解得x＝－2(舍去)或x＝2.于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.所以四棱锥PABCD的体积V＝××2＝4.1.在多面体ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四边形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝.(1)求证：平面EBC⊥平面EBD；(2)设M为线段EC上一点，且3EM＝EC，试问在线段BC上是否存在一点T，使得MT∥平面BDE，若存在，试指出点T的位置；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明： EC＝，CD＝2，ED＝1.∴EC2＝CD2＋ED2，∴ED⊥DC.又四边形ADEF是正方形，所以AD⊥DE，又AD∩DC＝D，所以ED⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以ED⊥BC.在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于点H，故四边形ABHD是正方形，所以∠ADB＝45°，BD＝.在Rt△BCH中，B...