3.3.1双曲线及其标准方程[基础达标]双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(，0)B．(，0)C．(，0)D．(，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c＝＝，故右焦点的坐标为(，0)．已知双曲线C的右焦点为F(3，0)，＝，则C的标准方程是()A.－＝1B．－＝1C.－＝1D．－＝1解析：选B.由题意可知c＝3，a＝2，b＝＝＝，故双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线－＝1上的一点P到它的右焦点的距离为8，则点P到它的左焦点的距离是()A．4B．12C．4或12D．6解析：选C.设P到左焦点的距离为r，c2＝12＋4＝16，c＝4，a＝2，c－a＝2，则由双曲线定义|r－8|＝4，∴r＝4或r＝12，4，12∈[2，＋∞)，符合题意．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于()A．24B．36C．48D．96解析：选C.a＝3，b＝4，c＝5，|PF2|＝|F1F2|＝2c＝10，|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋10＝16，F2到PF1的距离为6，故S△PF1F2＝×6×16＝48.已知F1，F2为双曲线x2－y2＝2的左，右焦点，点P在该双曲线上，且|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝()A.B．C.D．解析：选C.双曲线方程可化为－＝1，a＝b＝，c＝2，由，得|PF2|＝2，|PF1|＝4，又 |F1F2|＝2c＝4，在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝.双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0，3)，则k的值为________．解析：依题意，双曲线方程可化为－＝1，已知一个焦点为(0，3)，所以－－＝9，解得k＝－1.答案：－1在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6，0)，若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________．解析：A(－6，0)，C(6，0)为双曲线－＝1的左，右焦点．由于B在双曲线左支上，在△ABC中，由正弦定理知，|BC|＝2RsinA，|AB|＝2RsinC，2RsinB＝|AC|＝12，根据双曲线定义|BC|－|AB|＝10，故＝＝＝＝.答案：已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若|PQ|＝16，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析：显然点A(5，0)为双曲线的右焦点．由题意得，|FP|－|PA|＝6，|FQ|－|QA|＝6，两式相加，利用双曲线的定义得|FP|＋|FQ|＝28，所以△PQF的周长为|FP|＋|FQ|＋|PQ|＝44.1答案：44设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆C的圆心轨迹L的方程．解：依题意得两圆的圆心分别为F1(－，0)，F2(，0)，从而可得|CF1|＋2＝|CF2|－2或|CF2|＋2＝|CF1|－2，所以||CF2|－|CF1||＝4<|F1F2|＝2，所以圆心C的轨迹是双曲线，其中a＝2，c＝，b2＝c2－a2＝1，故C的圆心轨迹L的方程是－y2＝1.双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，求点P到x轴的距离．解：设P点为(x0，y0)，而F1(－5，0)，F2(5，0)，则PF1＝(－5－x0，－y0)，PF2＝(5－x0，－y0)． PF1⊥PF2，∴PF1·PF2＝0，即(－5－x0)(5－x0)＋(－y0)·(－y0)＝0，整理，得x＋y＝25①.又 P(x0，y0)在双曲线上，∴－＝1②.联立①②，得y＝，即|y0|＝.因此点P到x轴的距离为.[能力提升]如图，从双曲线－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝3的切线FP交双曲线右支于点P，T为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于()A.B．C.－D．＋解析：选C.|OM|－|MT|＝|PE|－(|MF|－|FT|)＝|FT|－(|PF|－|PE|)＝－×2＝－.已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，则|MA|＋|MB|的最小值为________．解析：设D(，0)，则A、D为双曲线的两个焦点，连接BD，MD，由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时上式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.答案：＋1已知双曲线过P1(－2，)和P2(，4)两点，求双曲线的标准方程．解：法一：当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由P1，P2在双曲线上，知解之得不合题意，舍去；2当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)．由P1，P2在双曲线上，知解之...
