（五年高考）高考数学复习 第五章 第二节 平面向量的数量积及其应用 文（全国通用）-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第二节平面向量的数量积及其应用考点一向量的数量积1.(2015·广东，9)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2，1)，则AD·AC＝()A.5B.4C.3D.2解析 四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2，1)＝(3，－1).∴AD·AC＝2×3＋(－1)×1＝5.答案A2.(2015·陕西，8)对任意平面向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2D.(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析对于A，由|a·b|＝||a||b|cosa，b|≤|a||b|恒成立；对于B，当a，b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.答案B3.(2014·新课标全国Ⅱ，4)设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝()A.1B.2C.3D.5解析因为|a＋b|＝，所以|a＋b|2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10.①又因为|a－b|＝，∴a2－2a·b＋b2＝6.②由①－②得4a·b＝4，即a·b＝1，故选A.答案A4.(2012·福建，3)已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是()A.x＝－B.x＝－1C.x＝5D.x＝0解析 a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(2，1)＝2(x－1)＋2×1＝2x＝0，∴x＝0.答案D5.(2013·湖北，7)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为()A.B.C.－D.－解析 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，∴a＝AB＝(2，1)，b＝CD＝(5，5).∴向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos〈a，b〉＝×＝＝.故选A.答案A6.(2015·湖北，11)已知向量OA⊥AB，|OA|＝3，则OA·OB＝________.解析因为OA⊥AB，所以OA·AB＝0.所以OA·OB＝OA·(OA＋AB)＝OA2＋OA·AB＝|OA|2＋0＝32＝9.答案97.(2015·天津，13)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________.解析在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴CD＝1，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC，∴AE·AF＝·＝AB·AD＋AB·DC＋BC·AD＋BC·DC＝2×1×cos60°＋2×＋×1×cos60°＋××cos120°＝.答案8.(2014·重庆，12)已知向量a与b的夹角为60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，则a·b＝________.解析因为a＝(－2，－6)，所以|a|＝＝2，又|b|＝，向量a与b的夹角为60°，所以a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2××＝10.答案109.(2013·新课标全国Ⅰ，13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析本题考查平面向量数量积的运算.b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t)|b|2＝t＋1－t＝1－t＝0⇒t＝2.答案210.(2013·新课标全国Ⅱ，14)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析本题考查向量数量积及运算性质.以{AB，AD}为基底，则AB·AD＝0， AE＝AB＋AD，BD＝AD－AB，∴AE·BD＝·(AD－AB)＝－|AB|2＋|AD|2＝－×22＋22＝2.答案2考点二平面向量的夹角、长度问题1.(2015·重庆，7)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析因为a⊥(2a＋b)，所以a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|b|＝4|a|，则上式可化为2|a|2＋|a|×4|a|·cos〈a，b〉＝0即2＋4cos〈a，b〉＝0，所以cos〈a，b〉＝－，即a，b夹角为π.答案C2.(2014·湖南，10)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的取值范围是()A.[4，6]B.[－1，＋1]C.[2，2]D.[－1，＋1]解析设D(x，y)，则(x－3)2＋y2＝1，OA＋OB＋OD＝(x－1，y＋)，故|OA＋OB＋OD|＝，|OA＋OB＋OD|的最大值即为圆(x－3)2＋y2＝1上的点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝＋1，最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1].答案D3.(2014·山东，7)已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝()A.2B.C.0D.－解析根据平面向量的夹角公式可得＝，即3＋m＝×，两边平方并化简得6m＝18，解得m＝，经检验符合题意.答案B4.(2012·重庆，6)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，...