高考达标检测（三十八）双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质一、选择题1．(2017·合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝()A．2B．4C．6D．8解析：选B由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.2．若双曲线x2＋＝1的一条渐近线的倾斜角α∈，则m的取值范围是()A．(－3,0)B．(－，0)C．(0,3)D.解析：选A由题意可知m<0，双曲线的标准方程为x2－＝1，经过第一、三象限的渐近线方程为y＝x，因为其倾斜角α∈，所以＝tanα∈(0，)，故m∈(－3,0)．3．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，且经过点(2,2)，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选A由题意，设双曲线C的方程为－x2＝λ(λ≠0)，因为双曲线C过点(2,2)，则－22＝λ，解得λ＝－3，所以双曲线C的方程为－x2＝－3，即－＝1.4．P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2，若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于()A．4B．5C．6D．7解析：选D由||PF1|－|PF2||＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，得c2－9＝a2.又＝，∴a＝4，c＝5，b＝3.∴a＋b＝7.5．(2016·湖南六校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选C由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5，a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故选C.6．(2017·东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.解析：选A如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2c，又∠F1F2P＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos120°＝12c2，所以|PF1|＝2c.由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2c－2c＝2(－1)c.故双曲线的离心率e＝＝＝.7．(2016·天津高考)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选D由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立解得或即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为－＝1.故选D.8．若以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双曲线与直线y＝x－1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为()A.∪(，＋∞)B.C.D.∪(，＋∞)解析：选B依题意，设题中的双曲线方程是－＝1(a＞0，b＞0)，则有a2＋b2＝9，b2＝9－a2.由消去y，化简得(b2－a2)x2＋2a2x－a2(1＋b2)＝0(*)有实数解，注意到当b2－a2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e＝；当b2－a2≠0时，Δ＝4a4＋4a2(b2－a2)(1＋b2)≥0，即a2－b2≤1，a2－(9－a2)≤1(b2＝9－a2＞0且a2≠b2)，由此解得0＜a2≤5且a2≠，此时e＝≥＝且e≠.综上所述，该双曲线的离心率的取值范围为，选B.二、填空题9．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：不妨令B为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线如图所示． 四边形OABC为正方形，|OA|＝2，∴c＝|OB|＝2，∠AOB＝. 直线OA是渐近线，方程为y＝x，∴＝tan∠AOB＝1，即a＝b.又 a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.答案：210．(2015·湖南高考)设F是双曲线C：－＝1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．解析：不妨设F(－c,0)，PF的中点为(0，b)．由中点坐标公式可知P(c,2b)．又点P在双曲线上，则－＝1，故＝5，即e＝＝.答案：11．过点(0,3b)的直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的...
