一平行线等分线段定理课堂探究探究一任意等分已知线段将已知线段AB分成n等份的步骤：(1)作射线AC(与AB不共线)；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝…＝Dn－1Dn；(3)连接DnB；(4)分别过点D1，D2，D3，…，Dn－2，Dn－1作DnB的平行线，分别交AB于点A1，A2，…，An－2，An－1，则点A1，A2，…，An－2，An－1将线段AB分成n等份．【典型例题1】如图所示，已知线段AB，求作线段AB的五等分点，并予以证明．思路分析：利用平行线等分线段定理来作图．解：(1)作射线AC；(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5；(3)连接D5B；(4)分别过D1，D2，D3，D4作D5B的平行线D1A1，D2A2，D3A3，D4A4，分别交AB于点A1，A2，A3，A4，则点A1，A2，A3，A4将线段AB五等分．证明：过点A作MN∥D5B.则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.∵AD1＝D1D2＝D2D3＝D3D4＝D4D5，∴AA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4B.∴点A1，A2，A3，A4就是所求的线段AB的五等分点．规律小结本题是利用平行线等分线段定理求已知线段的等分点，在等分已知线段时注意这类方法的运用．探究二证明线段相等平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时，要先构造线段的中点．【典型例题2】在ABCD中，E和F分别是边BC和AD的中点，BF和DE分别交AC于P，Q两点．求证：AP＝PQ＝QC.思路分析：根据条件先证四边形BEDF是平行四边形，得出BF∥DE.再过A，C分别作直线a，b，使a∥b∥BF∥DE，利用平行线等分线段定理即可得证．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC边，AD的中点，1∴BEDF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF∥DE.分别过A，C作直线a，b，使a∥b∥BF∥DE.∵a∥BF∥DE，AF＝FD，∴AP＝PQ.又∵b∥DE∥BF，CE＝EB，∴PQ＝QC，∴AP＝PQ＝QC.点评本题在证出BF∥DE后利用平行线等分线段定理，也可用推论1来证明．探究三三角形中位线性质的应用如果已知条件中出现了中点，往往利用三角形中位线的性质解决问题，辅助线在几何证明中起着非常重要的作用，而作不同的辅助线，可以得到不同的解题思路．【典型例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，E为AD的中点，EF∥BC，求证：BC＝2EF.思路分析：过A作BC的平行线，交DC于点G，利用平行四边形的性质，可得AG＝BC，只需再利用三角形中位线证AG＝2EF即可．证明：过A作BC的平行线，交DC于点G.因为AB∥DC，AG∥BC，所以四边形ABCG为平行四边形．所以BC＝AG.又EF∥BC，所以EF∥AG.又E为AD的中点，所以F为DG的中点．所以AG＝2EF，即BC＝2EF.方法技巧本题也可以用平行线等分线段定理来证明．探究四易错辨析易错点：构建平行线的方式不合理【典型例题4】如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别与EF的延长线交于点M，N，求证：∠BME＝∠CNE.2错解：连接BD，过F作FG∥AB交BD于G.过E作EG∥CD交BD于G.∵GF∥BM，GE∥CD，且E，F分别为BC，AD的中点，又∵AB＝CD，∴GF＝GE.∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.又∵GE∥CN，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠BME＝∠CNE.错因分析：在证明过程中没有说明FG∥AB与EG∥CD的点G是同一个点，不够严谨，导致出错．正解：连接BD，取BD的中点G，连接GE，GF.在△ABD中，∵G，F分别是BD，DA的中点，∴GF＝AB，GF∥BM.同理可证：GE＝CD，GE∥CN.∵AB＝CD，∴GF＝GE，∴∠GEF＝∠GFE.∵GF∥BM，∴∠GFE＝∠BME.∵GE∥CN，∴∠GEF＝∠CNE.∴∠BME＝∠CNE.3
