课时分层作业(四)空间中的点、直线与空间向量(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知点A(2,3,4)，B(1,2,1)，BC＝3OA，且O为坐标原点，则C点的坐标为()A．(6,8,9)B．(6,9,12)C．(7,11,13)D．(－7，－11，－13)C[设C(x，y，z)，则BC＝(x－1，y－2，z－1)，OA＝(2,3,4)，∴3OA＝(6,9,12)，由BC＝3OA，得∴∴C(7,11,13)．]2．已知空间向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，若a⊥b，则实数x的值是()A．－1B．0C．1D．2C[向量a＝(－1,0,3)，b＝(3，－2，x)，若a⊥b，则－1×3＋0×(－2)＋3x＝0，解得x＝1．故选C．]3．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与坐标平面()A．xOy平行B．xOz平行C．yOz平行D．yOz相交C[因为AB＝(9,2,1)－(9，－3,4)＝(0,5，－3)，所以AB∥平面yOz．]4．设向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，若a⊥b，则角α＝()A．30°B．60°C．120°D．150°B[ 向量a＝(2,2,0)，b＝，(0°＜α＜180°)，a⊥b，∴a·b＝2cosα－1＝0，∴cosα＝， 0°＜α＜180°，∴角α＝60°．故选B．]5．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A．B．C．D．A[以D为坐标原点，DA，DC，DD1的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则F(1，0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0,2,1)，则OE＝(－1,1,1)，FD1＝(－1,0,2)，1∴|OE|＝，|FD1|＝，OE·FD1＝3，∴cos〈OE，FD1〉＝＝＝．]二、填空题6．已知点A(1,1，－4)，B(2，－4,2)，C为线段AB上的一点，且AC＝AB，则C点坐标为________．[设C(x，y，z)，AC＝(x－1，y－1，z＋4)，AB＝(1，－5,6)，由AC＝AB得∴∴C．]7．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则实数y＋z等于________．0[由题意，得AB＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0．]8．长方体ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量BM与DN的夹角的余弦值是________[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(1,1,0)，M，D(0,0,0)，N，BM＝，DN＝，设向量BM与DN的夹角为θ，则cosθ＝＝＝．故向量BM与DN的夹角的余弦值为．]三、解答题9．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点．2求证：MN∥平面A1BD．[证明]如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，于是MN＝，DA1＝(1,0,1)．得DA1＝2MN，∴DA1∥MN，∴DA1∥MN．而MN⊄平面A1BD，DA1⊂平面A1BD，∴MN∥平面A1BD．10．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．(1)求cos〈BA1，CB1〉的值；(2)求证：A1B⊥C1M．[解](1)以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，3A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，BA1＝(1，－1,2)，CB1＝(0,1,2)，∴cos〈BA1，CB1〉＝＝＝．(2)证明：A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C1(0,0,2)，M，A1B＝(－1,1，－2)，C1M＝，又A1B·C1M＝0，∴A1B⊥C1M．11．(多选题)已知空间向量a，b，a⊥b，a＝(1,3,5)，则b的坐标可以是()A．(5,0，－1)B．C．(5，－3，－1)D．(8，－1，－1)ABD[a＝(1,3,5)，a⊥b，∴a·b＝0．在A中，a·b＝(1,3,5)·(5,0，－1)＝1×5＋3×0＋5×(－1)＝0，A正确．在B中，a·b＝(1,3,5)·＝1×(－2)＋3×3＋5×＝0，B正确．在C中，a·b＝(1,3,5)·(5，－3，－1)＝1×5＋3×(－3)＋5×(－1)＝－9≠0，C错误．在D中，a·b＝(1,3,5)·(8，－1，－1)＝1×8＋3×(－1)＋5×(－1)＝0，D正确．]12．向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则x－y＝()A．4B．2C．1D．B[向量a＝(1,2，x)，b＝(－2，y,4)，若a∥b，则＝＝，解得所以x－y＝－2－(－4)＝2．]13．(一题两空)已知向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝________；向量a与b的夹角是________．60°[向量a＝(1,0，－1)，b＝(1,1,0)，则|a|＝＝；cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与b的夹...
