第三节二项式定理1．二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.2．二项式系数的性质性质性质描述对称性与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C增减性二项式系数C当k<(n∈N*)时，是递增的当k>(n∈N*)时，是递减的二项式系数最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项取最大值3.各二项式系数和(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．()(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．()(4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.()[解析](1)错误．应为第k＋1项．(2)错误．当n为偶数时，为中间一项；n为奇数时，为中间的两项．(3)正确．二项式系数只与n和项数有关．(4)错误．令x＝1，可得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝()A．7B．6C．5D．4B[(x＋1)n＝(1＋x)n＝1＋C＋Cx2＋…＋Cxn.依题意，得C＝15，解得n＝6(n＝－5舍去)．]3．在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是()A．－7B．7C．－28D．281B[由题意知＋1＝5，解得n＝8，8的展开式的通项Tk＋1＝C8－kk＝(－1)k2k－8C.令8－＝0得k＝6，则展开式中的常数项为(－1)626－8C＝7.]4．在(1－2x)6的展开式中，x2的系数为________．(用数字作答)60[依二项式定理，含x2的项为展开式的第3项．∴展开式中T3＝C(－2x)2＝60x2，则x2的系数为60.]5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________.【导学号：51062334】－1[(1＋x)5＝1＋Cx＋Cx2＋Cx3＋Cx4＋Cx5.∴(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的项为(C＋Ca)x2，依题意得10＋5a＝5，解得a＝－1.]通项公式及其应用(1)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为()A．10B．20C．30D．60(2)若5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________.(1)C(2)－2[(1)法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.法二：(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.(2)Tr＋1＝C·(ax2)5－rr＝C·a5－rx10－r.令10－r＝5，解得r＝2.又展开式中x5的系数为－80，则有C·a3＝－80，解得a＝－2.][规律方法]1.二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．2．求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．[变式训练1](1)(2017·浙江五校联考)若n的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值等于()A．3B．4C．5D．6(2)(2x＋)5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)(1)C(2)10[(1)二项展开式的通项Tr＋1＝C(x6)n－rr＝C，若Tr＋1是常数项，则6n－＝0，即n＝r.又n∈N*，故n的最小值为5.2(2)(2x＋)5展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)5－r()r＝25－r·C·.令5－＝3，得r＝4.故x3的系数为25－4·C＝2C＝10.]二项式系数与各项系数和(1)(2017·衢州调研)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A．212B．211C．210D．29(2)(2017·诸暨质检)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________.(1)D(2)0[(1) (1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴C＝C，解得n＝10.从而C＋C＋C＋…＋C＝210，∴奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.(2)...
