高二数学直接证明与间接证明（文）人教实验版（B）VIP免费

高二数学直接证明与间接证明（文）人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：直接证明与间接证明二.学习目标：理解并掌握证明的几种常见方法，如：比较法，综合法，分析法，反证法等；能够运用这些方法解决有关的问题。三.考点分析：1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用的方法，基本不等式就是用比较法证得的。比较法有差值、比值两种形式，但比值法必须考虑正负。比较法证不等式有作差（商）、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则可考虑用到判别式法证。2、所谓综合法，就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证明的结论，可简称为“由因导果”，在使用综合法证明不等式时，要注意基本不等式的应用。所谓分析法，就是从所要证明的不等式出发，不断地用充分条件替换前面的不等式，或者是显然成立的不等式，可简称“执果索因”，在使用分析法证明不等式时，习惯上用“”表述。综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，其中分析法既可以寻找解题思路，如果表述清楚，也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用。3、反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。4、使用反证法证明问题时，准确地作出反设（即否定结论），是正确运用反证法的前提，常见的“结论词”与“反设词”列表如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n-1个p或qp且q至多有n个至少有n+1个p且qp或q5、放缩法：欲证A≥B，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得，，再利用传递性，达到证明的目的．这种方法叫做放缩法。【典型例题】例1.已知为不等正数，且。求证：。a,b,cabc=1abcabc111证法一：abcabc,,是不等正数，且1用心爱心专心abcbccaab111112112112111bccaababc证法二：abcabc,,是不等正数且1111222222abcbccaabbccacaababbcabcabcabcabc小结：利用综合法由因导果证明不等式，要揭示条件与结论之间的因果关系，不等式两端的差异与联系。例2.是否存在常数，使得对任意正数恒成立？试证明你的结论。解：令得∴下面证明：（1）先证明 要证只需证即显然成立∴（2）再证只需证即显然成立∴综上所述，存在常数对任何正数成立例3.证明：（）aaaaa1233分析：已知条件很简单（仅有a≥3），而要证明的无理不等式较复杂，遵循化繁为简原则，容易想到用分析法求证。证法一：要证：aaaa123只要证：aaaa321只要证：()()aaaa32122即证：aaaa()()()312即证：aaaa()()()312即证：显然成立02aaaaa1233（）用心爱心专心证法二：要证：aaaa123即证：11123aaaaaaaa1230上式成立aaaaa1233（）小结：分析法是寻求结论成立的充分条件，而不是从结论出发推证已知条件，故证明过程中一定要注意格式，“要证”“只要证”等词必不可少。在解决有关根式的问题时，“分子有理化”也是常用的技巧。例4.已知函数，设a、b∈R，且a≠b，求证：思路：本题证法较多，下面用分析法和放缩法给出两个证明：证明：证法一：①当ab≤－1时，式①显然成立；当ab＞－1时，式①② a≠b，∴式②成立。故原不等式成立。证法二：当a＝－b时，原不等式显然成立；当a≠－b时，∴原不等式成立。点评：此题还可以用三角代换法，复数代换法、数形结合等证明，留给读者去思考。例5.已知，，求证：。解析：假设，那么，∴，即∴，∴或解得且或且，均与已知矛盾∴假设不成立，原命题成立。点评：1、用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种情况：用心爱心专心（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；（2）导出q为真，即与假设“...