课时训练4高度与角度问题1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°答案:B解析:如图,由题意知AC=BC,∠ACB=80°,∴∠CBA=50°,α+∠CBA=60°.∴α=10°,即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.2.如图,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点(点A,B与树根部在同一直线上),从A,B两点分别测得树尖的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为60m,则树的高度为()A.(30+30)mB.(30+15)mC.(15+30)mD.(15+3)m答案:A解析:设树高为hm,由题意得h-h=60,则h==30(+1)=30+30.3.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为()A.20()mB.mC.mD.10()m答案:C解析:由已知得AO=h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cos60°,∴400=3h2+h2-h2,∴h2=,∴h=(m).4.平面内三个力F1,F2,F3作用于同一个点且处于平衡状态,已知F1,F2的大小分别为1N、N,F1与F2的夹角为45°,则F3与F1的夹角是.答案:150°1解析:如图,设三力作用于点O,F1与F2的合力为F,由共点力平衡,得|F|=|F3|,令=F1,=F2,=F,=F3.∵∠AOB=45°,∴∠CAO=135°.在△OCA中,由余弦定理,得OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos135°=4+2,∴OC=+1,即|F3|=+1.又由正弦定理,得sin∠AOC=,∴∠AOC=30°.∴∠AOD=150°.∴F3与F1的夹角为150°.5.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60m,则建筑物的高度为m.答案:30解析:设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,得cos∠PBA=,①cos∠PBC=.②∵∠PBA+∠PBC=180°,∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得:h=30(m)或h=-30(m)(舍去),即建筑物的高度为30m.6.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,则塔高AB=.答案:解析:在△BCD中,,∴BC=.在△ABC中,=tanθ⇒AB=BC·tanθ=.27.如图所示,在地面上有一旗杆OP,为测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20m,在A处测得P点的仰角∠OAP=30°,在B处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高度h.(精确到0.1m)解:在Rt△PAO中,AO=h.在Rt△PBO中,BO==h.又在△ABO中,由余弦定理,得202=(h)2+h2-2h·hcos60°,解得:h=≈13.3(m).8.在平地上有A,B两点,A在山D的正东,B在山D的东南,且B在A的南偏西25°方向300米的地方,在A处测山顶C的仰角是30°,求山高.解:A,B,C,D不在同一平面内,首先画出空间图形,如图所示.山高为CD,AB=300米,∠ABD=180°-(45°+65°)=70°,AD=·AB,在△ACD中,CD=AD·tan30°≈230(米).所以山高约为230米.9.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°相距20(+1)海里的海面上有一台风中心,影响半径为20海里,正以每小时10海里的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)小时后开始影响基地持续2小时.求台风移动的方向.(导学号51830085)解:如图所示,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一直线上,且AD=20,AC=20.由题意AB=20(+1),DC=20,BC=(+1)·10.在△ADC中,∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=.∴∠BAC=30°.又∵B位于A南偏东60°方向,60°+30°+90°=180°,3∴D位于A的正北方向.又∵∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量的方向,即北偏西45°方向.答:台风沿北偏西45°方向移动.4
