高二数学椭圆的定义、标准方程及几何性质知识精讲人教实验版（B）一.本周教学内容：椭圆的定义、标准方程及几何性质二.本周学习目标掌握椭圆的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求椭圆的方程，掌握椭圆的几何性质。了解椭圆的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用，掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一些问题。三.知识点精析（一）椭圆的定义1、第一定义：平面内与两个定点为F，F的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。特别地，当常数等于时，轨迹是线段FF，当常数小于时，无轨迹。2、第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线l的距离之比等于常数e(0﹤e﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F叫椭圆的焦点，定直线l叫做椭圆的准线。e叫椭圆的离心率。椭圆有两个焦点，两条准线。该定义中的焦点和准线具有“对应性”，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。（二）椭圆的标准方程及几何性质1、标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程参数方程为参数)为参数)图形EMBEDPBrush顶点对称轴轴，轴；短轴为，长轴为焦点焦距离心率（离心率越大，椭圆越扁）准线用心爱心专心通径（为焦准距）焦半径焦点弦仅与它的中点的横坐标有关仅与它的中点的纵坐标有关焦准距说明：方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F，F的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a，b，c都大于零，其中a最大且a=b+c2、椭圆焦点三角形：设P为椭圆上任意一点，F，F为焦点且∠FPF＝，则△PFF为焦点三角形，S＝btan。3、方程表示椭圆的充要条件是：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B。A＞B时，焦点在y轴上，A＜B时，焦点在x轴上。4、弦长公式：x，x分别为弦PQ的横坐标，弦PQ所在直线方程为y=kx+b，代入椭圆方程整理得Ax2+Bx+C=0，则＝，若y，y分别为弦PQ的纵坐标，则＝，5、直线与椭圆的位置关系：设直线l的方程为：Ax+By+C=0，椭圆（a﹥b﹥0），组成方程组，消去y(或x)利用判别式△的符号来确定。若△>0则直线与椭圆有两个交点，若△=0则直线与椭圆有一个交点，若△<0则直线与椭圆没有交点。6、斜率为k的弦的中点轨迹方程：设弦PQ的端点为P(x，y)，Q(x，y)，中点为M（x，y），把P，Q的坐标代入椭圆方程后作差相减用中点公式和斜率公式可得（椭圆内不含端点的线段）7、设P（x，y）是椭圆（a﹥b﹥0）上一点，则过P点的切线方程是：8、点P和椭圆（a﹥b﹥0）的关系：（1）点P（x，y）在椭圆外>1，（2）点P（x，y）在椭圆上＝1，（3）点P（x，y）在椭圆内<19、椭圆（a﹥b﹥0）按＝（x，y）平移得（它的中心、用心爱心专心对称轴、焦点、准线方程都按＝（x，y）作了相应的平移。）［考点指要］在历年的高考数学试题中，有关圆锥曲线的试题所占的比重约占试卷的15%左右，且题型，数量，难度保持相对稳定：选择题和填空题共2道题，解答题1道，选择题和填空题主要考查圆锥曲线的标准方程，几何性质等；解答题往往是以椭圆，双曲线或抛物线为载体的有一定难度的综合题，问题涉及函数，方程，不等式，三角函数，平面向量等诸多方面的知识，并蕴含着数学结合，等价转化，分类讨论等数学思想方法，对考生的数学学科能力及思维能力的考查要求较高。近几年解答题注意了控制运算量，增加了思维容量，即逻辑思维，数学思维的考查容量有所增加，运算能力的考查略有下降。主要考查：圆锥曲线的概念和性质；直线与圆锥曲线的位置关系；求曲线的方程；与圆锥曲线有关的定值问题，最值问题，对称问题，范围问题等。曲线的应用问题，探索问题以及圆锥曲线与其它数学内容的交汇问题也将是高考命题的热点。【典型例题】例1.求下列椭圆的标准方程（1）椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2倍。分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：①当为长轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；②当为短轴端点时，，，椭圆的标准方程为：；说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶...
