高二数学空间中的垂直关系【本讲主要内容】空间中的垂直关系直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直【知识掌握】【知识点精析】1.a⊥α，2.3.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。5.6.7.8.9.10.11.12.【解题方法指导】垂直关系的证明可划分为直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三种类型。这三种类型的垂直关系之间存在着较为紧密的联系，相互转化的特征十分明显。因此，在解决垂直关系的证明问题时，可以分类逐一研究，但更要注意它们之间的相互联系与相互转化1.直线与直线垂直的证明方法：证明直线与直线垂直，常从以下四个方面进行考虑。（1）如果直线a与直线b是异面直线，可考虑使用异面直线所成角的方法进行，由勾股逆定理算出这个角为90°。（2）可以转化为直线和平面垂直来考虑，将两条直线中的一条放在某个平面α内，只要能证出另一条与平面α垂直即可。（3）如果存在两条直线的平行关系，若有直线c平行于直线a，又能证出直线b⊥c，则有b⊥a。（4）三垂线定理及其逆定理是证明直线与直线垂直的重要定理，在使用的过程中，关键是寻找另一条直线c，使得c与b在同一个平面α内，且b⊥c，又c是直线a在平面α内的射影，由三垂线定理得出b⊥a。2.直线与平面垂直的证明方法直线与平面垂直的证明，既可转化为直线与直线的垂直，又可以转化为平面与平面的垂直。根据题目的条件，一般可以从以下四个方面考虑。（1）证明直线与平面垂直最常用的方法是使用直线与平面垂直的判定定理，即证明这条直线与平面内的两条相交直线垂直即可。在证明过程时，往往与一条直线的垂直或由已知给用心爱心专心出，或由平面几何知识证明，而与另一条直线的垂直往往又转化为线面垂直，由直线与平面垂直的性质定理得出，体现了线面、线线垂直关系的交融。（2）如果存在两条直线的平行关系，当证明一条直线与平面垂直不易直接证得时，可考虑转化为证明与它平行的直线与这个平面垂直。（3）为证明直线a与平面α垂直，可考虑过a的平面β是否与α垂直，若β⊥α，l，那么只要证出a⊥l，则有a⊥α。（4）有时也可以考虑使用如下定理来证明：l，l。3.平面与平面垂直的证明方法证明两个平面垂直的定理有两、三个，但最常使用的还是平面与平面垂直的判定定理。在使用的过程中，只需在一个平面内寻找一条与另一个平面垂直的直线即可。例1.已知正方体中，E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点，且BE=BF=BG，求证：BD1⊥平面EFG。思路：根据条件，在正方体中易得EF//AC，而AC⊥BD1，故BD1⊥EF，同理BD1⊥EG。证明：如图 ABCD为正方形，BE=BF∴EF//AC，又 AC⊥BD，∴EF⊥BD BD为BD1在平面ABCD内的射影∴BD1⊥EF同理BD1⊥EG∴BD1⊥面EFG点评：证明线面垂直，常常先证明线线垂直，而证明线线垂直通常又是借助线面垂直来完成的。例2.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出如下四个论断：①m⊥n，②α⊥β，③n⊥β，④m⊥α，以其中三个论断解为条件，余下一个论断解为结论，写出你认为正确的一个命题：_____________。思路：利用直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定和性质定理。解：假设①，③，④为条件，即成立，如图有四种不同情况，通过分析判断，有两种情况可能成立。用心爱心专心过m上一点P作PB//n，则PB⊥mPB⊥β，设垂足为B，又因为m⊥α，设垂足为A，过PA、PB的平面与α、β的交线交于点C l⊥PA，l⊥PB∴l⊥平面PAB，∴l⊥AC，l⊥BC∴∠ACB是二面角α—l—β的平面角显然∠APB+∠ACB=180°， PB⊥PA，∴∠ACB=90°，由①，③，④推得②成立，如果②，③，④成立，类似可得①成立。点评：本题为开放题，题型新颖、灵活，条件、结论由考生自己选择。【考点突破】【考点指要】线面垂直这部分内容属于立体几何的重点内容，在高考中经常出现，在选择题、填空题中也往往考查线面垂直的判定，在解答题中常作为某一步的形式出现，有时也间接考查这部分内容，如在证面面垂直和...
