三相似三角形的判定及性质自我小测1．在△ABC中，D是AB上一点，在边AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，则这样的点最多有()个．A．0B．1C．2D．无数2．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使点B落在AD的中点E处，则折痕FG的长为()A．13B．C．D．3．以下列条件为依据，能判定△ABC和△A′B′C′相似的一组是()A．∠A＝45°，AB＝12cm，AC＝15cm；∠A′＝45°，A′B′＝16cm，A′C′＝25cmB．AB＝12cm，BC＝15cm，AC＝24cm；A′B′＝20cm，B′C′＝25cm，A′C′＝32cmC．AB＝2cm，BC＝15cm，∠B＝36°；A′B′＝4cm，B′C′＝5cm，∠A′＝36°D．∠A＝68°，∠B＝40°；∠A′＝68°，∠B′＝40°4．如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三角形有()A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，D，E分别在AB，AC上，下列条件能判定△ADE与△ABC相似的有()①∠AED＝∠B，②＝，③＝，④DE∥BC.A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，已知AC⊥BD，DE⊥AB，AC，ED交于点F，BC＝3，FC＝1，BD＝5，则AC＝__________.17．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝6，AD＝3，则AB＝__________.8．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线BD⊥DC，则△ABD∽________，BD2＝________.9．如图，已知∠ACB＝∠E，AC＝6，AD＝4，求AE的长．10．如图所示，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.求证：△ABC∽△FCD.11．如图所示，在△ABC中，AD，CE是两条高，连接DE，如果BE＝2，EA＝3，CE＝4，在不添加任何辅助线和字母的条件下，写出三个正确的结论(要求：分别为边的关系、角的关系、三角形相似等)，并对其中一个结论予以证明．2参考答案1．解析：如图所示，DE1∥BC，则△ADE1∽△ABC；在AC上存在点E2，使∠AE2D＝∠B.又∠A＝∠A，则△ADE2∽△ACB，故这样的点最多有2个．答案：C2．解析：过点A作AH∥FG交CD于点H，则四边形AFGH是平行四边形，所以AH＝FG.因为FG⊥BE，所以AH⊥BE.所以∠ABE＋∠BAH＝90°.因为∠BAH＋∠DAH＝90°，所以∠ABE＝∠DAH.因为∠BAE＝∠ADH＝90°，所以△ABE∽△DAH，所以＝.因为AB＝12，AE＝AD＝×10＝5，AD＝10，所以BE＝＝13.所以＝.所以AH＝，即FG＝.答案：C3．解析：选项A中，∠A＝∠A′，但≠，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项B中，＝≠，则△ABC与△A′B′C′不相似；选项C中，∠B与∠B′不一定相等，则△ABC与△A′B′C′不一定相似；选项D中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，则△ABC∽△A′B′C′.答案：D4．解析：与△ODB相似的三角形有△AEB，△OEC，△ADC，共有3个．答案：B5．解析：由相似三角形的判定定理1可知①可以判定△ADE与△ABC相似；由判定定理2知②也可以判定△ADE与△ABC相似；由预备定理知④同样可以判定△ADE与△ABC相似．所以共有①②④三个条件可以判定△ADE与△ABC相似．答案：C6．解析：由BC＝3，BD＝5可得CD＝BD－BC＝2.易证△CDF∽△CAB，所以＝，即＝，AC＝6.答案：67．解析：在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC.3∴＝.∴＝，∴AB＝12.答案：128．解析：∵∠ADC＋∠BCD＝180°，∠BDC＝90°，∴∠ADB＋∠BCD＝90°.而∠ADB＋∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCD.又∠BAD＝∠BDC＝90°，∴Rt△ABD∽Rt△DCB.∴＝.∴BD2＝AD·BC.答案：△DCBAD·BC9．解：因为∠ACB＝∠E，∠DAC＝∠CAE，所以△DAC∽△CAE.所以＝.所以AE＝＝＝9.10．证明：因为BD＝DC，DE⊥BC，所以△BEC为等腰三角形．所以∠B＝∠1.又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.11．分析：题图中有高，所以可以充分利用直角三角形的性质和勾股定理求出未知边的长度．由AE＝3，CE＝4，可知CA＝5，这样可知AC＝AB，△ABC是一个等腰三角形，再寻找条件就比较容易了．解：①AB＝AC；②∠B＝∠ACB；③△CEB∽△ADC.下面仅证明△CEB∽△ADC.∵CE⊥AE，AE＝3，CE＝4，∴AC＝＝5.又∵AB＝AE＋BE＝5，∴AC＝AB.∴∠B＝∠ACB.又∵∠CEB＝∠ADC＝90°，∴△CEB∽△ADC.4
