空间向量及其加减运算A级基础巩固一、选择题1．下列说法中正确的是()A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小解析：由向量概念可知只有D正确．答案：D2．下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC解析：|a|＝|b|，只是说明a，b模相等，但方向不确定，所以A错；相反向量方向相反，模相等，则B正确；C显然不对；四边形ABCD若为平行四边形则满足此式AB＋AD＝AC，有的不规则四边形ABCD不满足此式，D错．答案：B3．已知空间向量AB、BC、CD、AD，则下列结论正确的是()A.AB＝BC＋CDB.AB－DC＋BC＝ADC.AD＝AB＋BC＋DCD.BC＝BD－DC解析：AB－DC＋BC＝AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.答案：B4．已知正方形ABCD的边长为1，设AB＝a，BC＝b，AC＝c，则|a＋b＋c|等于()A．0B．3C．2＋D．21解析：利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2|AC|＝2.答案：D5.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.A．①②B．②③C．③④D．①④答案：A二、填空题6．把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是________．解析：在空间中把所有的单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是以这些单位向量的公共起点为球心，半径为1的球面．答案：球面7．在长方体ABCDA1B1C1D中，AC＋AB1＋AD1与向量AC1之间的关系是________．解析：因为AC1＝AB＋AD＋AA1，AC＝AB＋AD，AB1＝AB＋AA1，AD1＝AD＋AA1，所以AC＋AB1＋AD1＝2AC1.答案：AC＋AB1＋AD1＝2AC18．如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________(用a，b，c表示)．2解析：A1B＝CB－CA1＝CB－(CA＋CC1)＝－a＋b－c.答案：－a＋b－c三、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简下式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AB＋BC＋CD；(2)AB＋GD＋EC.解：(1)AB＋BC＋CD＝AD.(2)AB＋GD＋EC＝AB＋EF＋BE＝AF.作出向量如图所示：10．如图所示，几何体ABCDEF-A′B′C′D′E′F′为正六棱柱，在顶点连接的向量中，(1)与AB相等的向量有哪些？(2)BD与B′D′，AE，A′E′相等吗？3解：(1)与AB相等的向量有ED，A′B′，E′D′.(2)由正六棱柱的性质可知，BD与B′D′，AE，A′E′分别平行且相等，所以BD＝B′D′＝AE＝A′E′.B级能力提升1．如图所示，在四棱柱的上底面ABCD中，AB＝DC，则下列向量相等的是()A.AD与CBB.OA与OCC.AC与DBD.DO与OB答案：D2．已知点M是△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝________．解析：设D为AB的中点，则MA＋MB＝2MD，又M为△ABC的重心，则MC＝－2MD，所以MA＋MB＋MC＝0.答案：03.如图，在四面体ABCD中，E，F，H分别为棱CD，AD，BC的中点，连接BE，DH，交于点G，则G为△BCD的重点，连接AG，HF，化简下列各式．(1)AG＋BE＋CA；(2)(AB＋AC－AD)．解：(1)如图，连接EF，4因为G是△BCD的重心，所以|GE|＝|BE|.又因为CA＝EF.所以由向量加法的三角形法则可知AG＋BE＋CA＝AG＋GE＋EF＝AE＋GF＝AF.则AG＋BE＋CA＝AF.(2)如图，分别取AB，AC的中点P，Q，连接PH，QH，AH，则四边形APHQ为平行四边形．因为AB＝AP，AC＝AQ，AP＋AQ＝AH，AD＝AF，所以(AB＋AC－AD)＝AB＋AC－AD＝AP＋AQ－AF＝AH－AF＝FH.5
