3.2.2平面的法向量与平面的向量表示[A基础达标]1．若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是()A．B．(2，－1，0)C．(1，2，0)D．答案：C2．直线l的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m＝(－1，1，3)，n＝，则直线l与平面β的位置关系是()A．l∥βB．l⊥βC．l∥β或l⊂βD．无法判断解析：选C．因为m·n＝－＋0＋＝0，所以m⊥n.所以l∥β或l⊂β.3．已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)解析：选C．显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2，1，1)．4.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1ACC1的一个法向量可以是()A．BCB．A1B1C．BB1D．BD解析：选D．因为A1A⊥BD，AC⊥BD，A1A∩AC＝A，所以BD⊥平面A1ACC1，所以BD为平面A1ACC1的一个法向量．5.在三棱锥PABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是()A．B．(1，，1)C．(1，1，1)D．(2，－2，1)解析：选A．因为AC＝CB＝1，PC＝2，1所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，P(0，0，2)，AP＝(－1，0，2)，BP＝(0，－1，2)．又(－1，0，2)·＝－1×1＋0×1＋2×＝0，(0，－1，2)·＝0×1＋(－1)×1＋2×＝0，所以向量是平面PAB的法向量．6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．解析：因为α∥β，所以u1∥u2.所以＝＝，所以y＝1，z＝－4，所以y＋z＝－3.答案：－37．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，则AE与平面A1D1F的关系为________．解析：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E(1，1，)，D1(0，0，1)，F(0，，0)，A1(1，0，1)．AE＝(0，1，)，D1F＝(0，，－1)，A1D1＝(－1，0，0)．所以AE·D1F＝(0，1，)·(0，，－1)＝－＝0，AE·A1D1＝0，所以AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1，所以AE⊥平面A1D1F.答案：垂直8．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥AP，则AB⊥AP.AD·AP＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP⊥AD，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD，故AP是平面ABCD的一个法向量．答案：①②③9.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，点E是棱PB的中点，证明：AE⊥平面PBC.证明：如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、2z轴，建立空间直角坐标系．设D(0，a，0)，则B(，0，0)，C(，a，0)，P(0，0，)，E.于是AE＝，BC＝(0，a，0)，PC＝(，a，－)，则AE·BC＝0，AE·PC＝0.所以AE⊥BC，AE⊥PC.又因为BC∩PC＝C，所以AE⊥平面PBC.10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CD1B1.证明：以D为原点，分别以DA、DC、DD1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为1，则A1(1，0，1)、B(1，1，0)、D1(0，0，1)、B1(1，1，1)、C(0，1，0)、D(0，0，0)，所以A1D＝(－1，0，－1)，A1B＝(0，1，－1)，D1B1＝(1，1，0)，D1C＝(0，1，－1)，设平面A1BD的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则⇒.令z＝1，得x＝－1，y＝1.所以平面A1BD的一个法向量为n1＝(－1，1，1)．设平面CD1B1的一个法向量为n2＝(a，b，c)，则⇒，令b＝1，得a＝－1，c＝1，所以n2＝(－1，1，1)，所以n1＝n2，即n1∥n2，所以平面A1BD∥平面CD1B1.[B能力提升]11．平面α的一个法向量为(1，2，0)，平面β的一个法向量为(2，－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定3解析：选C．因为(1，2，0)·(2，－1，0)＝0，所以α⊥β.12．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是...
