章末综合检测(一)[学生用书P67(单独成册)](时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在△ABC中，已知a＝3，b＝4，c＝，则∠C为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选B.根据余弦定理得：cosC＝＝＝，所以∠C＝60°.2．已知△ABC的外接圆的半径是3，a＝3，则∠A等于()A．30°或150°B．30°或60°C．60°或120°D．60°或150°解析：选A.根据正弦定理得＝2R，sinA＝＝，因为0°<∠A<180°，所以∠A＝30°或150°.3.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.akmC．akmD．2akm解析：选B.利用余弦定理解△ABC.易知∠ACB＝120°，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°＝2a2－2a2×(－)＝3a2.所以AB＝a.4．在△ABC中，若a＝7，b＝8，cosC＝，则最大角的余弦值是()1A．－B．－C．－D．－解析：选C.c2＝72＋82－2×7×8×＝9，所以c＝3，所以∠B最大．cosB＝＝－.5．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，b＝，c＝，∠B＝，那么a等于()A．1B．2C．4D．1或4解析：选C.在△ABC中，b＝，c＝，cosB＝，由余弦定理有b2＝a2＋c2－2accosB，即7＝a2＋3－3a，解得a＝4或a＝－1(舍去)．故a的值为4.6．在△ABC中，a2＋b2－ab＝c2＝2S△ABC，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选B.由a2＋b2－ab＝c2得：cosC＝＝，所以∠C＝60°，又2S△ABC＝a2＋b2－ab，所以2×ab·sin60°＝a2＋b2－ab，得2a2＋2b2－5ab＝0，即a＝2b或b＝2a.当a＝2b时，代入a2＋b2－ab＝c2得a2＝b2＋c2；当b＝2a时，代入a2＋b2－ab＝c2得b2＝a2＋c2.故△ABC为直角三角形．7．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ac，则∠B的值是()A．B．C．或D．或解析：选D.因为a2＋c2－b2＝2accosB，所以2accosBtanB＝ac.所以sinB＝，所以∠B＝或π，故选D.8．已知△ABC中，∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为()A．2B．C．或2D．2或2解析：选D.依题意得＝，sinC＝＝，因此∠C＝60°或∠C＝120°.当∠C＝60°时，∠A＝90°，△ABC的面积等于AB·AC＝2；当∠C＝120°时，∠A＝30°，△ABC的面积等于AB·AC·sinA＝.综上所述，△ABC的面积等于2或，选D.9．在△ABC中，已知∠C＝60°，＋＝()A．1B．2C．3D．4解析：选A.＋＝＝(※)因为∠C＝60°，所以a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，所以a2＋b2＝ab＋c2代入(※)式得＝1.10．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA；②a＝bcosC＋ccosB；③a2＋b2－c2＝2abcosC；④b＝csinA＋asinC，一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由正弦定理，①正确；根据余弦定理，③正确；又bcosC＋ccosB＝＋＝＝a，②正确．11．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.根据正弦定理，原式可化为2R＝(a－b)·，所以a2－c2＝(a－b)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝.又因为∠C∈(0°，180°)，所以∠C＝45°.12．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于()A．B．C．D．解析：选B.设BC＝a，则BM＝MC＝.在△ABM中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，3即72＝a2＋42－2××4·cos∠AMB，①在△ACM中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC，即62＝42＋a2＋2×4×·cos∠AMB，②①＋②得72＋62＝42＋42＋a2，所以a＝.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知△ABC的面积为6，AB＝4，∠BAC＝45°，则AC＝________.解析：S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4·AC·sin45°＝6，所以AC＝3.答案：314．在△ABC中，若b＝5，∠B＝，sinA＝，则a＝________．解析：由正弦定理有：＝，即＝，得a＝.答案：15．在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝____________．解析：本题考查正弦定理、余弦定理的应用．由题意可得bcsinA＝，解得c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝1＋16－2×4...
