课时作业13变化率与导数、导数的计算一、选择题1．已知f(x)＝x(2013＋lnx)，f′(x0)＝2014，则x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e解析：因为f(x)＝2013x＋xlnx，所以f′(x)＝2013＋lnx＋1＝2014＋lnx，又因为f′(x0)＝2014，所以2014＋lnx0＝2014，解得x0＝1.答案：B2．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)等于()A．2B．0C．－2D．－4解析：f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.答案：D3．已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点横坐标为()A．－2B．3C．2或－3D．2解析：设切点坐标为(x0，y0)，因为y′＝x－，所以y′＝x0－＝－，即x＋x0－6＝0，解得x0＝2或x0＝－3(舍)，故选D.答案：D4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2解析：设切点坐标为(x0，y0)，由y′＝知y′＝＝1，即x0＋a＝1.解方程组得故选B.答案：B5．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝()A.B．－C.D．－或解析： f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－.答案：D6．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为()A．9x－y－16＝0B．9x＋y－16＝0C．6x－y－12＝0D．6x＋y－12＝0解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3，由于f′(x)是偶函数，所以a＝0，此时f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝9，f(2)＝2，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－2＝9(x－2)，即9x－y－16＝0.答案：A二、填空题7．函数y＝f(x)的图象在点P(3，f(3))处的切线方程为y＝x＋2，f′(x)为f(x)的导函数，则f(3)＋f′(3)＝________．解析：(3，f(3))在切线y＝x＋2上，∴f(3)＝5，又f′(3)＝1，∴f(3)＋f′(3)＝6.答案：68．若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.解析：y′＝k＋，则y′＝k＋1＝0.解得k＝－1.答案：－19．过点P(2，－2)且与曲线y＝3x－x3相切的直线方程是________．解析：设点(a，b)为切点，则有b＝3a－a3.导函数y′＝3－3x2，则切线斜率k＝3－3a2，所以切线方程为y－b＝(3－3a2)(x－a)，即y＝(3－3a2)x－a(3－3a2)＋b＝(3－3a2)x＋3a3－3a＋3a－a3，整理得y＝(3－3a2)x＋2a3①，将点P(2，－2)代入得－2＝2(3－3a2)＋2a3＝2a3－6a2＋6，即a3－3a2＋4＝0，即a3＋1－3a2＋3＝(a3＋1)－3(a2－1)＝0，整理得(a＋1)(a－2)2＝0，解得a＝2或a＝－1，代入①式得切线方程为y＝－9x＋16或y＝－2.答案：y＝－9x＋16或y＝－210．若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围是________．解析：y′＝x2＋2bx＋4， y′≥0恒成立，∴Δ＝4b2－16≤0，∴－2≤b≤2.答案：[－2，2]三、解答题11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上． f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2) 切线与直线y＝－x＋3垂直，∴切线的斜率为k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1.∴或∴切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.12．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或1.(2) 曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，∴关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，∴a≠－.∴a的取...
