课时训练8椭圆的简单几何性质1.已知点(3,2)在椭圆=1上,则().A.点(-3,-2)不在椭圆上B.点(3,-2)不在椭圆上C.点(-3,2)在椭圆上D.无法判断以上各点是否在椭圆上答案:C解析:由椭圆的对称性知(-3,2)必在椭圆上.2.椭圆=1与椭圆=1有().A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对答案:D解析:由于椭圆=1中,焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,所以无法确定两个椭圆的长轴长、短轴长的关系,且离心率也不一定相同.3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程为().A.=1B.=1C.=1和=1D.=1和=1答案:D解析:依题意2a+2b=18,2c=6,所以a+b=9,c=3.而c2=a2-b2,所以a2-b2=9,于是a-b=1,解得a=5,b=4,故方程为=1或=1.4.椭圆=1的离心率为,则k的值为().A.B.-3C.或-3D.-3或答案:C解析:若焦点在x轴上,则=1-,∴k=;若焦点在y轴上,则,∴k=-3.5.中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点(2,0)的椭圆的方程是().A.+y2=11B.+y2=1或x2+=1C.x2+4y2=1D.x2+4y2=4或4x2+y2=16答案:D解析:若焦点在x轴上,则a=2.又e=,∴c=.∴b2=a2-c2=1,∴方程为+y2=1,即x2+4y2=4;若焦点在y轴上,则b=2.又e=,∴=1-,∴a2=4b2=16,∴方程为=1,即4x2+y2=16.6.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为().A.2B.3C.6D.8答案:C解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),则=3(-2≤x0≤2),·=x0(x0+1)++x0++x0+3(x0+2)2+2,当x0=2时,·取得最大值为6.7.已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于.答案:解析:根据题意得2b=6,a+c=9或a-c=9(舍去).所以a=5,c=4,故e=.8.若AB为过椭圆=1的中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB的面积的最大值为.答案:12解析:如图,=2.又∵OF1=c=3为定值,∴点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大.此时的最大值为×4×3=6.2∴的最大值为12.9.椭圆=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2与椭圆相交于A,B两点,O为坐标原点,以AB为直径的圆恰好过O,求直线l的方程.解:F2(,0),设直线l的方程为y=k(x-).由得(1+2k2)x2-4k2x+4(k2-1)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1·x2=.又y1=k(x1-),y2=k(x2-),∴y1·y2=k2x1·x2-k2(x1+x2)+2k2.=(x1,y1),=(x2,y2).∵,∴·=0,∴·=x1·x2+y1·y2==0,∴k=±.又当k不存在时,与不垂直,∴所求直线方程为y=±(x-).10.(2012重庆高考,理20)如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2⊥QB2,求直线l的方程.解:(1)如图所示,设所求椭圆的标准方程为=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).因△AB1B2是直角三角形,又|AB1|=|AB2|,故∠B1AB2为直角,因此|OA|=|OB2|,得b=,结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e=.在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.3由题设条件=4得b2=4,从而a2=5b2=20,因此所求椭圆的标准方程为=1.(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1,y2是上面方程的两根,因此y1+y2=,y1·y2=-,又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16=-+16=-.由PB2⊥QB2,得·=0,即16m2-64=0,解得m=±2.所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.4
