2.2圆的参数方程2.3椭圆的参数方程2.4双曲线的参数方程1.如图,已知椭圆+y2=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,则|OP|·|OQ|的值是()A.1B.2C.3D.4解析:设M(2cosφ,sinφ)(φ为参数),B1(0,-1),B2(0,1).则MB1的方程为y+1=x,令y=0,则x=,即|OP|=.MB2的方程为y-1=x,∴|OQ|=.∴|OP|·|OQ|==4.答案:D2.曲线(θ为参数)的渐近线方程为()1A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.x=±解析:∵x2-y2=-tan2θ=1,∴曲线为等轴双曲线.易知渐近线为y=±x.答案:B3.P(x,y)是曲线(α为参数)上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.36B.6C.26D.25解析:由参数方程可知,(x-2)2+y2=1,圆心O(2,0),另一定点M(5,-4),∴|OM|==5.∴(x-5)2+(y+4)2的最大值为(5+1)2=62=36.答案:A4.在椭圆=1上与直线x+2y-10=0的距离最小的点的坐标为.解析:椭圆参数方程为(θ为参数).设椭圆上任意一点P(3cosθ,2sinθ),P到直线x+2y-10=0的距离d==2=2sin(θ+φ).当sin(θ+φ)=1时,距离最小.此时sin(θ+φ)=sinθ+cosθ=1,又sin2θ+cos2θ=1,∴sinθ=,cosθ=.此时点P的坐标为.答案:5.如图,由圆x2+y2=9上的点M向x轴作垂线,交x轴于点N,设P是MN的中点,则点P的轨迹的参数方程是.解析:圆x2+y2=9的参数方程为(θ为参数),∴设M(3cosθ,3sinθ),P(x,y),则N(3cosθ,0).∴(θ为参数).答案:(θ为参数)6.实数x,y满足=1,则z=x-y的最大值为;最小值为.解析:由椭圆的参数方程,可设x=4cosθ,y=3sinθ,3∴z=x-y=4cosθ-3sinθ=5cos(θ+φ),其中φ为锐角,且tanφ=.∴-5≤z≤5.答案:5-57.求椭圆=1的参数方程.(1)设x=3cosφ,φ为参数;(2)设y=2t,t为参数.分析:把x,y含参表达式分别代入椭圆方程求出参数方程.解:(1)把x=3cosφ代入椭圆方程,得=1,∴y2=4(1-cos2φ)=4sin2φ,即y=±2sinφ.由φ的任意性,可取y=2sinφ.∴=1的参数方程为(φ为参数).(2)把y=2t代入椭圆方程,得=1.∴x2=9(1-t2),∴x=±3.∴参数方程为(t为参数)或(t为参数).8.设F1,F2分别为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右两个焦点.(1)若椭圆C上的点A到F1,F2的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹的参数方程.4解:(1)由椭圆上点A到F1,F2的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A在椭圆上,因此=1,得b2=3,于是c2=a2-b2=1,所以椭圆C的方程为=1,焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0).(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cosθ,sinθ),线段F1P的中点坐标为(x,y),则x=,y=,所以x+=cosθ,=sinθ.故线段F1P的中点的轨迹的参数方程为(θ为参数).9.如图,动线段PQ的一个端点Q在椭圆x2+=1上运动,另一端点P在x轴上运动,且|PQ|=2,由此条件能否求出线段PQ的中点M的轨迹的参数方程?若能,求出其方程;若不能,说明理由.解:设Q(cosθ,2sinθ),P(t,0),则PQ中点坐标为因为|PQ|=2,5所以(t-cosθ)2+4sin2θ=4,从而(t-cosθ)2=4(1-sin2θ)=4cos2θ,所以t=cosθ±2cosθ,即t=3cosθ或t=-cosθ.若t=3cosθ,则点M的轨迹的参数方程为(θ为参数).若t=-cosθ,则点M的轨迹的参数方程为(θ为参数).6
