高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.1 离散型随机变量及其分布列例题与探究 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学试题VIP专享VIP免费

2.1离散型随机变量及其分布列典题精讲【例1】①某路口一天经过的机动车的车辆数为X;②一天内的温度为X;③某单位的某部电话在单位时间内被呼叫的次数X;④某投篮手在一次训练中,投中球的个数X.上述问题中的X是离散型随机变量的是()A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④思路解析:随机试验的结果可以一一列出的,就是离散型随机变量.一天内的温度变化的取值不能一一列出,是非离散型随机变量.答案:C绿色通道：判断一个量是否是离散型随机变量,关键是看它的取值能否一一列出,分析时要紧紧把握定义.变式训练抛掷两颗骰子,所得点数之和为X,那么X=4表示的随机试验的结果是()A.一颗是3点,一颗是1点B.两颗都是2点C.两颗都是4点D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点思路解析:X=4应代表所有试验结果中和为4的试验.故选D.答案:D【例2】有10把钥匙串成一串,其中只有一把能把某房门打开,若依次尝试开锁,打不开则扔掉,直到打开为止,则试验次数X的取值为_____________.思路解析:根据题意可以看出,由于打不开的即刻扔掉,所以最多开10次即可打开.答案:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10绿色通道：写离散型随机变量的取值要结合具体的试验和试验可能出现的结果来写.变式训练例2中条件“打不开,则扔掉”改为“若打不开,放回再随机地取一把”,如此重复下去,直到打开为止,则试验次数X的取值为____________.答案:1,2,3,…【例3】将一颗骰子投掷两次,设两次掷出点数的最大值为X,求X的分布列.思路分析:由题意知X的取值为1、2、3、4、5、6.再根据古典概型求出取每个值时的概率.解:由题意知X可取的值为1、2、3、4、5、6,则P(X=1)=36111616CC;P(X=2)=12131616CC;P(X=3)=36551616CC;P(X=4)=36771616CC;P(X=5)=4191616CC;1P(X=6)=3611111616CC.所以抛掷两次最大点数的分布列为:X123456P361121365367413611绿色通道：求离散型随机变量的分布列关键有两点:(1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率值.所求是否正确,可通过概率和是否为1来检验.变式训练将一颗骰子投掷两次,设两次掷出点数的差的绝对值为X,求X的分布列.解：由题意可知,X的取值为0、1、2、3、4、5.则P(X=0)=6161616CC;P(X=1)=185101616CC;P(X=2)=9281616CC;P(X=3)=6161616CC;P(X=4)=9141616CC;P(X=5)=18121616CC.所以X的分布列为:X012345P61185926191181【例4】若离散型随机变量的分布列为X01P9c2-c3-8c试求出常数c.思路分析:根据性质列出不等式组求解.解:由离散型随机变量分布列的性质,得.1830,190,83922cccccc解得c=31.绿色通道：离散型随机变量分布列的两个性质:①pi≥0,i=1,2,3,…,n;②p1+p2+…+pn=1,这是处理分布列问题的关键.2变式训练随机变量X的概率分布规律为P(X=k)=)1(kkc,k=1、2、3、4.其中c为常数,则P(21＜X＜25)的值为()A.32B.43C.54D.65答案:D【例5】设某项试验的成功概率是失败概率的4倍,试写出一次试验成功次数的分布列.思路分析:首先求出随机变量的取值,即试验成功次数,然后求出对应的概率.解:一次试验成功的次数是一个随机变量X,它的取值为0、1.设P(X=0)=p1,P(X=1)=p2,由题意知p2=4p1.又 p1+p2=1,∴p1=0.2,p2=0.8.∴一次试验成功次数的分布列为X01P0.20.8绿色通道：两点分布在生产、生活中有很多应用,如新生儿的性别,某天是否下雨,一件产品是否合格等,都要用两点分布来研究.变式训练在“30选7福利彩票”中,小李一次买了一注,试写出他中一等奖的分布列.解:X01P73011C7301C【例6】四名同学同时报名参加了数学、物理、化学三科知识竞赛,每个同学取得第一名的机会均等.记一个人取得第一名的最多次数为X,求X的分布列.(不考虑并列名次)思路分析:随机变量的取值为1、2、3.分别计算所对应的概率.解:由题意可知,一个人所得第一名的次数取值可能为1,2,3.当X=1时,对应于四人中恰有三人各获得一个第一名;当X=2时,对应于四人中有一人获得两个第一;当X=3时,三个第一被同一人获得.当X=1时,P(X=1)=834334A;当X=2时,P(X=2)=16943131423CCC;当X=3时,P(X=3)=1614314C.∴X的分布列为X123P831691613绿色通道：对分布列的求解,归根结底还是概率的求法,而求概率还要运用排...