课时分层作业(三)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列结论正确的是()A．若y＝cosx，则y′＝sinxB．若y＝sinx，则y′＝－cosxC．若y＝，则y′＝－D．若y＝，则y′＝[解析]∵(cosx)′＝－sinx，∴A不正确；∵(sinx)′＝cosx，∴B不正确；∵()′＝，∴D不正确．[答案]C2．在曲线f(x)＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为()A．(1,1)B．(－1，－1)C．(－1,1)D．(1,1)或(－1，－1)[解析]切线的斜率k＝tanπ＝－1，设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－1，又f′(x)＝－，∴－＝－1，∴x0＝1或－1，∴切点坐标为(1,1)或(－1，－1)．故选D.[答案]D3．对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为()A．f(x)＝x3B．f(x)＝x4－2C．f(x)＝x3＋1D．f(x)＝x4－1[解析]由f′(x)＝4x3知f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入选项中验证可得，选B.[答案]B4．已知曲线y＝x3在点(2,8)处的切线方程为y＝kx＋b，则k－b＝()A．4B．－4C．28D．－28[解析]∵y′＝3x2，∴点(2,8)处的切线斜率k＝f′(2)＝12.∴切线方程为y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.[答案]C5．若f(x)＝sinx，f′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是()A.B.C.πD.π[解析]∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx.又∵f′(α)＝cosα＝，∴α＝2kπ±(k∈Z)．当k＝0时，α＝.1[答案]A二、填空题6．已知f(x)＝x2，g(x)＝lnx，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________.[解析]因为f(x)＝x2，g(x)＝lnx，所以f′(x)＝2x，g′(x)＝且x>0，f′(x)－g′(x)＝2x－＝1，即2x2－x－1＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)．故x＝1．[答案]17．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b＝________.[解析]设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝lnx0.∵y′＝(lnx)′＝，由题意知＝，∴x0＝2，y0＝ln2.由ln2＝×2＋b，得b＝ln2－1．[答案]ln2－18．已知函数y＝f(x)的图象在M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝__________.[解析]依题意知，f(1)＝×1＋2＝，f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝＋＝3.[答案]3三、解答题9．若质点P的运动方程是s＝(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t＝8s时的瞬时速度．[解]∵s′＝()′＝(t)′＝t－，∴v＝×8－＝×2－1＝，∴质点P在t＝8s时的瞬时速度为m/s.10．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解]因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.则f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.[能力提升练]1．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2019(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx[解析]f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′2＝sinx，所以4为最小正周期，故f2019(x)＝f3(x)＝－cosx.[答案]D2．若曲线y＝x在点(a，a)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝()A．64B．32C．16D．8[解析]因为y′＝－x，所以曲线y＝x在点(a，a)处的切线方程为：y－a－＝－a(x－a)，由x＝0得y＝a，由y＝0得x＝3a，所以·a·3a＝18，解得a＝64.[答案]A3．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．[解析]与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.[答案]4．已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y＝x2的切线方程；(2)求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．[解](1)因为y′＝2x.P(－1,1)，Q(2,4)都是曲线y＝x2上的点．过P点的切线的斜率k1＝－2，过Q点的切线的斜率k2＝4，过P点的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.过Q点的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)因为y′＝2x，直线PQ的斜率k＝＝1，切线的斜率k＝2x0＝1，所以x0＝，所以切点M，与PQ平行的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.34
