【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章解三角形学业分层测评12余弦定理北师大版必修5(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC中，如果(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，那么A等于()A．30°B．60°C．120°D．150°【解析】由(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc得b2＋c2－a2＝bc，cosA＝＝＝，所以A＝60°.【答案】B2．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4且C＝60°，则ab的值为()A.B．8－4C．1D．【解析】依题意得两式相减得ab＝.【答案】A3．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.B．C.D．【解析】设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴S△ABC＝AB·BCsinB＝×3×2×＝.∴BC边上的高为＝.【答案】B4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝10，b＝15，C＝60°，则cosB＝()A.B．C．－D．－【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝102＋152－2×10×15×cos60°＝175，∴c＝5，∴cosB＝＝＝.【答案】A5．若三角形三边长的比为5∶7∶8，则它的最大角和最小角的和是()A．90°B．120°C．135°D．150°【解析】∵三边长的比为5∶7∶8，∴可设三条边长分别为5t,7t,8t.令7t所对角为θ，则cosθ＝＝，∴θ＝60°，从而它的最大角和最小角的和是120°.【答案】B二、填空题6．在△ABC中，若a＝2，b＝3，C＝60°，则sinA＝________.1【解析】由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋9－2×2×3×＝7，∴c＝，再由正弦定理得sinA＝＝＝.【答案】7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝120°，c＝5，a＝7，则＝________.【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即49＝b2＋25＋5b，解得b＝3或b＝－8(舍去)．所以＝＝.【答案】8．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则最大的边长为________．【解析】∵a－b＝4>0，∴a>b，又a＋c＝2b，∴a－c＝a－(2b－a)＝2(a－b)>0，∴a>c，故a为最长边，A＝120°，故cosA＝＝－，∴＝－，∴b＝10，a＝14.【答案】14三、解答题9．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.(1)求角C的度数；(2)求AB的长；(3)求△ABC的面积．【解】(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，又∵C∈(0，π)，∴C＝120°.(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.(3)S△ABC＝absinC＝.10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cosB＝，且AB·BC＝－21，若a＝7，求角C.【导学号：67940038】【解】∵AB·BC＝|AB|·|BC|·cos(π－B)＝－accosB＝－ac＝－21，∴ac＝35.又a＝7，∴c＝5，∵cosB＝，且B∈(0，π)，∴sinB＝＝，∴b2＝49＋25－2×7×5×＝32，2∴b＝4.由正弦定理，得＝，∴sinC＝.又a＞c，∴C∈∴C＝.[能力提升]1．已知锐角三角形的边长分别是3,5，x，则x的取值范围是()A．10，得5＞x>4，若x最大，则32＋52－x2>0，得5
