计时双基练十五导数与函数的极值、最值A组基础必做1．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()A.B．－C．－ln2D．ln2解析令y′＝2x＋x·2xln2＝0，∴x＝－。答案B2．(2015·济宁一模)函数f(x)＝x2－lnx的最小值为()A.B．1C．0D．不存在解析f′(x)＝x－＝，且x>0。令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0－1C．a>－D．a<－解析 y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a。 函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解， x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1。答案A4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)。若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)图像的是()解析因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)>0，f′(－1)>0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0。答案D5．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点。又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19。又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20。答案A6．(2016·山东日照模拟)如果函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值。则上述判断中正确的是()A．①②B．②③C．③④⑤D．③解析当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错。故选D。答案D7．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________。解析由题意，得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32。答案328．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________。解析f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0。所以m>6或m<－3。答案(－∞，－3)∪(6，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________。解析 f′(x)＝3x2＋6mx＋n，∴由已知可得∴或当时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立与x＝－1是极值点矛盾；当时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，显然x＝－1是极值点，符合题意。∴m＋n＝11。答案1110．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)。(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值。解(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－。又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e。(2)f′(x)＝1－，①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值。②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna。x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值。综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值。11．(2015·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)。(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值。解(1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e。又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e。所以切线方程...
