【红对勾】（新课标）2017高考数学大一轮复习第二章函数、导数及其应用2.10变化率与导数、导数的计算真题演练文1．(2014·课标卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3解析：y′＝a－，当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.答案：D2．(2011·全国卷)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.B.C.D．1解析：y′＝－2e－2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k＝－2，∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A，与直线y＝0的交点为B(1,0)，所以三角形的面积S＝×1×＝，故选A.答案：A3．(2014·江西卷)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：由题意知，y′＝lnx＋1，直线斜率为2，由导数的几何意义，令lnx＋1＝2，得x＝e，所以y＝elne＝e，所以P(e，e)．答案：(e，e)4．(2015·课标卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.解析：f′(x)＝3ax2＋1，f′(1)＝3a＋1，f(1)＝a＋2，故f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，代入点(2,7)得，a＝1.答案：15．(2013·北京卷)设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．解：(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0,且g′(x)＝1－f′(x)＝.当01时，x2－1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．
