课时分层作业(六)直线与平面的夹角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角正弦值为()A．B．C．D．C[如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则平面A1BC1的一个法向量为n＝(1,1,1)，DA＝(1,0,0)，设直线AD与平面A1BC1所成角为θ，∴sinθ＝|cos〈n，DA〉|＝＝＝．]2．OA、OB、OC是由点O出发的三条射线，两两夹角为60°，则OC与平面OAB所成角的余弦值为()A．B．C．D．B[设OC与平面OAB所成的角为θ，则cos60°＝cosθ·cos30°，∴cosθ＝．]3．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，若该长方体的体积为8，则直线AC1与平面BB1C1C所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．120°A[ 在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，该长方体的体积为8，1∴2×2×AA1＝8，解得AA1＝2，以D为原点，DA、DC、DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，AC1＝(－2,2,2)，平面BB1C1C的法向量n＝(0,1,0)，设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，sinθ＝＝＝，∴θ＝30°，∴直线AC1与平面BB1C1C所成的角为30°．故选A．]4．在三棱锥PABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O是AC的中点，OP⊥底面ABC．现以点O为原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为()A．B．C．D．A[因为OP⊥平面ABC，OA＝OC，AB＝BC，所以OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP．设AB＝a，则PA＝2a，OP＝a，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0,0，a)．∴PA＝(a,0，－a)，PB＝(0，a，－a)，BC＝(－a，－a,0)．设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则，即，令x＝1，则y＝－1，z＝－，所以平面PBC的一个法向量为n＝，所以cos〈PA，n〉＝＝，所以PA与平面PBC所成角的正弦值为．]5．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则AA1与平面AB1C1所成的角为()2A．B．C．D．A[以C为原点，在平面ABC中过C作BC的垂线为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A(，1,0)，A1(，1,3)，B1(0,2,3)，C1(0,0,3)，AA1＝(0,0,3)，AB1＝(－，1,3)，AC1＝(－，－1,3)，设平面AB1C1的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝，得n＝(，0,1)，设AA1与平面AB1C1所成的角θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝．∴AA1与平面AB1C1所成的角为．故选A．]二、填空题6．等腰Rt△ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为________．45°[作CO⊥α，O为垂足，连接AO，MO，则∠CAO＝30°，∠CMO为CM与α所成的角．在Rt△AOC中，设CO＝1，则AC＝2．在等腰Rt△ABC中，由AC＝2得CM＝．在Rt△CMO中，sin∠CMO＝＝＝．∴∠CMO＝45°．]37．如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD⊥平面ABCD，且四边形ABCD和四边形A1B1CD都是正方形，则直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是________．[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝1，则B(1,1,0)，D1(－1，0,1)，BD1＝(－2，－1,1)，平面A1B1CD的法向量n＝(1,0,0)，设直线BD1与平面A1B1CD所成角为θ，则sinθ＝＝，∴cosθ＝＝，∴直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值是tanθ＝＝．]8．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于________．[如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA，OA1分别为x轴、z轴，过O作OA的垂线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．设△ABC边长为1，则A，B1，所以AB1＝．平面ABC的法向量n＝(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角α的正弦值为sinα＝|cos〈AB1，n〉|＝＝．]三、解答题49．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E、F分别是PC、AD中点．(1)求证：DE∥平面PFB；(2)求PB与平面PCD所成角的正切值．[解](1)证明：取PB的中点M，连接EM，FM， E，M分别是PC，PB的中点，∴EM∥BC，EM＝BC， 四边形ABCD是正方形，F是AD的中点，∴DF∥BC，DF＝BC，∴四边形DEMF是平行四边形，∴DE∥FM，又DE⊄平面PFB，FM⊂平面PFB，...
