§5夹角的计算1.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等,则AB1与侧面ACC1A1夹角的正弦值等于()A.B.C.D.解析:如图,作B1D⊥A1C1,垂足为D,连接AD. ABC-A1B1C1为正三棱柱,∴B1D⊥平面ACC1A1,∴∠B1AD为所求的AB1与侧面ACC1A1的夹角.设AB=2a,则B1D=a,AB1=2a.∴sin∠B1AD=.答案:A2.如图,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,∠BAC=90°,O为BC的中点,则平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值是()A.-B.C.-D.解析一:取SC的中点M,连接AM,OM,OA,由题意知SO=OC,SA=AC,得OM⊥SC,AM⊥SC.所以∠OMA为二面角A-SC-B的平面角.由AO⊥BC,AO⊥SO,SO∩BC=O,得AO⊥平面SBC.所以AO⊥OM.又AM=SA,AO=SA,故sin∠AMO=,cos∠AMO=.故平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.解析二:连接OA,由题易知AO,BO,SO两两垂直,则以O为坐标原点,射线OB,OA,OS分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.取SC的中点M,连接AM,OM,设B(1,0,0),则C(-1,0,0),A(0,1,0),S(0,0,1).SC的中点M,所以=(-1,0,-1),所以·=0,·=0.故MO⊥SC,MA⊥SC,<>等于二面角A-SC-B的平面角.cos<>=,所以平面ASC与平面BSC的夹角的余弦值为.答案:B3.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BB1,DC的中点,则异面直线AE与D1F的夹角为()A.B.C.D.解析:设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,1则D1(0,0,0),A(2,0,2),E(2,2,1),F(0,1,2).∴=(0,2,-1),=(0,1,2),∴·=0,∴.答案:D4.把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,点E,F分别是AD,BC的中点,O是正方形的中心,则折起后,直线OE与OF的夹角的大小是()A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,设正方形的边长为2.则F,E,∴,,∴cos∠EOF=cos<>==-,设直线OE与OF的夹角为θ,则cosθ=|cos∠EOF|=,即θ=.故直线OE与OF的夹角为.答案:A5.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=BC,且∠BAC=,则PA与底面ABC的夹角为.解析:取BC的中点O,连接PO,AO.由题意可令PA=PB=PC=BC=a,则PO=a.又BC=a,∠BAC=,且O为BC的中点,所以AO=.又PO2+OA2=PA2,所以PO⊥AO.所以cos∠PAO=,所以∠PAO=.因为PO⊥BC,且AO∩BC=O,所以PO⊥平面ABC,即∠PAO为PA与底面ABC的夹角.答案:6.如图,ABCD是边长为3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE与平面ABCD的夹角为,则平面FBE与平面DBE夹角的余弦值是.解析:因为DA,DC,DE两两垂直,所以建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.2因为BE与平面ABCD的夹角为,即∠DBE=,所以.由AD=3可知DE=3,AF=,则A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0).所以=(0,-3,),=(3,0,-2).设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),则令z=,则n=(4,2,).由题意知AC⊥平面BDE,所以为平面BDE的法向量,=(3,-3,0).所以cos
=.故由题意知平面FBE与平面DBE夹角的余弦值为.答案:7.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都是1,且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=,E,F分别为A1B1与BB1的中点,求异面直线BE与CF夹角的余弦值.解:如图所示,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,===.∴a·b=b·c=a·c=.而=-a+c,=-b+c,∴||=,||=.∴··=a·b-a·c-b·c+c2=.cos<>=.∴异面直线BE与CF的夹角的余弦值为.8.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD.已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.(1)求证:SA⊥BC;(2)求直线SD与平面SAB夹角的正弦值.(提示:用向量法求解)(1)证明:如图,作SO⊥BC,垂足为O,连接AO.由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.因为SA=SB,所以AO=BO.又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,且AO⊥OB.3如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,OB为y轴正向,OS为z轴正向,建立空间直角坐标系O-xyz,则A(,0,0),B(0,,0),C(0,-,0),S(0,0,1),所以=(,0,-1),=(0,2,0).所以·=0.所以SA⊥BC.(2)解:如上图,取AB的中点E.连接SE,取SE的中点G,连接OG,则.所以·=0,·=0,即OG与平面SAB内两条相交直线SE,AB垂直,所以OG⊥平面SAB.将的夹角记为α,SD与平面SAB的夹角记为β,则α与β互余.因为D(,-2,0),所以=(-,2,1),所以cosα=,所以sinβ=.所以直线SD与平面SAB夹角的正弦值为.9.如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.(1)求证:PC⊥AB;(2)求平面ABP与平面APC夹角的余弦值.(1)证明: AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC,∴PC⊥BC. AC∩BC=C,∴P...
